Superficie di rotazione(geometria differenziale)
Salve ragazzi ho dei problemi con questo esercizio:
Sia M la superficie di rotazione ottenuta facendo ruotare intorno all'asse x la curva c:$y-exp(x)=0;z=0$
1) scrivere equazioni parametriche di M
2)calcolare la curvatura di Gauss K e curvatura media H nel generico punto di M
3) descrivere la natura dei punti di M
Per quanto riguarda il punto 1 ho portato l'equazione in forma parametrica e cioè $x=ln(x);y=u;z=0$ poi ho calcolato la superficie di rotazione che ha come equazione $x=ln(u);y^2+z^2=u^2$ ! per quanto riguarda la forma parametriche della superficie ho pensato di scriverla in questo modo $x=log(u);y=ucos(v);z=usin(v)$!
Per il punto 2 premesso che stia bene l'equazione ho calcolato attraverso le formule $K=-1/u$ e $H=-1/u$
I miei problemi sono la correttezza della forma parametrica della superficie e il terzo punto del problema( non capisco cosa intende), inoltre ho lo stesso problema con un'altro esercizio dove dice :
Descrivere i punti di $T^2$ per i quali K<0; K>0; K=0;
Sia M la superficie di rotazione ottenuta facendo ruotare intorno all'asse x la curva c:$y-exp(x)=0;z=0$
1) scrivere equazioni parametriche di M
2)calcolare la curvatura di Gauss K e curvatura media H nel generico punto di M
3) descrivere la natura dei punti di M
Per quanto riguarda il punto 1 ho portato l'equazione in forma parametrica e cioè $x=ln(x);y=u;z=0$ poi ho calcolato la superficie di rotazione che ha come equazione $x=ln(u);y^2+z^2=u^2$ ! per quanto riguarda la forma parametriche della superficie ho pensato di scriverla in questo modo $x=log(u);y=ucos(v);z=usin(v)$!
Per il punto 2 premesso che stia bene l'equazione ho calcolato attraverso le formule $K=-1/u$ e $H=-1/u$
I miei problemi sono la correttezza della forma parametrica della superficie e il terzo punto del problema( non capisco cosa intende), inoltre ho lo stesso problema con un'altro esercizio dove dice :
Descrivere i punti di $T^2$ per i quali K<0; K>0; K=0;
Risposte
Ciao,
allora premetto che ho svolto i conti molto velocemente quindi potrei aver commesso qualche errore, però in sostanza posso dirti che l'equazione della superficie di rotazione è corretta, ma non credo lo siano le curvature $K$ e $G$.
Se ho tempo stasera, magari ti posto i conti che ho fatto così puoi confrontarli!
Sotto ti riporto il grafico della funzione
allora premetto che ho svolto i conti molto velocemente quindi potrei aver commesso qualche errore, però in sostanza posso dirti che l'equazione della superficie di rotazione è corretta, ma non credo lo siano le curvature $K$ e $G$.
Se ho tempo stasera, magari ti posto i conti che ho fatto così puoi confrontarli!
Sotto ti riporto il grafico della funzione
grazie per la risposta, oggi o domani lo rifaccio e ti farò sapere ! cmq per le altre domande hai qualche idea?
Il punto 3) ti chiede di che natura sono i punti di $M$, ossia essendo che si ha ovunque curvatura gaussiana negativa, i punti di $M$ sono tutti punti iperbolici.
P.S: Una cosetta, l'equazione parametrica della superficie di rotazione è corretta, mentre l'equazione cartesiana deve essere scritta nella forma $f(sqrt(y^2+z^2),x)=0$
P.S: Una cosetta, l'equazione parametrica della superficie di rotazione è corretta, mentre l'equazione cartesiana deve essere scritta nella forma $f(sqrt(y^2+z^2),x)=0$
Allora, ti posto i conti che ho fatto io...
$T_u=(1/u,cos(v), sin(v))$
$T_v=(0, -usin(v), ucos(v))$
$T_(u u)=(-1/u^2, 0, 0)$
$T_(u v)=(0, -sin(v), cos(v))$
$T_(v v)=(0, -ucos(v), -usin(v))$
$N=(u/sqrt(u^2+1), -cos(v)/sqrt(u^2+1), -sin(v)/sqrt(u^2+1))$
$E=1/u^2+1$
$F=0$
$G=u^2$
$e=-1/(usqrt(u^2+1))$
$f=0$
$g=u/sqrt(u^2+1)$
$K=(eg-f^2)/(EG-F^2)=-1/(u^2+1)^2$
$H=(Ge-2Ff+Eg)/(2(EG-F^2))=1/((2u^2+2)(usqrt(u^2+1))$
Spero di non aver fatto qualche errore di calcolo!
$T_u=(1/u,cos(v), sin(v))$
$T_v=(0, -usin(v), ucos(v))$
$T_(u u)=(-1/u^2, 0, 0)$
$T_(u v)=(0, -sin(v), cos(v))$
$T_(v v)=(0, -ucos(v), -usin(v))$
$N=(u/sqrt(u^2+1), -cos(v)/sqrt(u^2+1), -sin(v)/sqrt(u^2+1))$
$E=1/u^2+1$
$F=0$
$G=u^2$
$e=-1/(usqrt(u^2+1))$
$f=0$
$g=u/sqrt(u^2+1)$
$K=(eg-f^2)/(EG-F^2)=-1/(u^2+1)^2$
$H=(Ge-2Ff+Eg)/(2(EG-F^2))=1/((2u^2+2)(usqrt(u^2+1))$
Spero di non aver fatto qualche errore di calcolo!
grazie mille sei stato esauriente e molto chiaro! grazie ancora! solo un ultima cosa: per l'ultima parte del mio msg c'era un quesito poco chiaro quello con K<0 K>0 K=0 !
io ho pensato a questo punto che se alla domanda si puo rispondere che i punti quando K>0 sono ellittici ; K<0 sono iperboloici ; K=0 sono paraboloici !
grazie ancora per la tua pazienza!
io ho pensato a questo punto che se alla domanda si puo rispondere che i punti quando K>0 sono ellittici ; K<0 sono iperboloici ; K=0 sono paraboloici !
grazie ancora per la tua pazienza!
Figurati!
Ma con $T^2$ cosa intendi? il Toro?
Comunque si, la risposta credo sia proprio quella!
Ma con $T^2$ cosa intendi? il Toro?
Comunque si, la risposta credo sia proprio quella!
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