Superficie di rotazione e paralleli
Salve a tutti!!
Ho alcuni dubbi su questo esercizio:
Consideriamo la superficie ottenuta ruotando intorno all’asse z la curva: $ α(t) = (3 + 2 cost, 0,sin t). $
(1) Determinare l’insieme M in cui tale superficie è regolare e descrivere le carte locali.
(2) Sia C il parallelo di M realizzato ruotando il punto $ α(0). $
(a) Verificare che il vettore $ e_3 = (0, 0, 1) $ appartenga al piano tangente ad M in ogni
punto $ p ∈ C. $
Provo a svolgerlo per quanto riesco:
(1) Parametrizzo la superficie di rotazione tramite due carte locali:
$ X:U-> RR^3 $
$ X(u,v)=((3+2cosv)cosu, (3+2cosv)sinu, sinv) $
con $ (u,v) in U=(0, 2pi) \times RR $
e poi $ (u,v) in V=(-pi, pi) \times RR $
(qui in realtà non sono sicura di $ v in RR$ , forse devo prima trovare M?)
Per trovare M devo verificare che
(i) X sia $ C^(oo) $ (lo è perchè lo sono le entrate)
(ii) X sia un omeomorfismo con l'immagine, quindi in particolare devo verificare che sia iniettiva e che abbia inversa continua
(iii) il differenziale $ dX_q $ sia iniettivo $ \forall q in U $
giusto?
verifico che sia iniettiva:
$ { ( (3+2cosv_1)cosu_1=(3+2cosv_2)cosu_2 ),( (3+2cosv_1)sinu_1=(3+2cosv_2)sinu_2 ),( sinv_1=sinv_2 ):} $
Come proseguo ora? So che dovrebbe essere una stupidata ma mi sto impappinando
$ sinv_1=sinv_2 rArr ?$
perchè per l'iniettività io dovrei avere $v_1=v_2$ quindi richiedo che $v in (0, pi/2)$?
(2) qui ho problemi con i paralleli!! Come trovo C?
Da quel che ho capito dovrei tenere fissa la coordinata $u$ e lasciare variare $v$ ma nella pratica poi non saprei cosa fare
Ho alcuni dubbi su questo esercizio:
Consideriamo la superficie ottenuta ruotando intorno all’asse z la curva: $ α(t) = (3 + 2 cost, 0,sin t). $
(1) Determinare l’insieme M in cui tale superficie è regolare e descrivere le carte locali.
(2) Sia C il parallelo di M realizzato ruotando il punto $ α(0). $
(a) Verificare che il vettore $ e_3 = (0, 0, 1) $ appartenga al piano tangente ad M in ogni
punto $ p ∈ C. $
Provo a svolgerlo per quanto riesco:
(1) Parametrizzo la superficie di rotazione tramite due carte locali:
$ X:U-> RR^3 $
$ X(u,v)=((3+2cosv)cosu, (3+2cosv)sinu, sinv) $
con $ (u,v) in U=(0, 2pi) \times RR $
e poi $ (u,v) in V=(-pi, pi) \times RR $
(qui in realtà non sono sicura di $ v in RR$ , forse devo prima trovare M?)
Per trovare M devo verificare che
(i) X sia $ C^(oo) $ (lo è perchè lo sono le entrate)
(ii) X sia un omeomorfismo con l'immagine, quindi in particolare devo verificare che sia iniettiva e che abbia inversa continua
(iii) il differenziale $ dX_q $ sia iniettivo $ \forall q in U $
giusto?
verifico che sia iniettiva:
$ { ( (3+2cosv_1)cosu_1=(3+2cosv_2)cosu_2 ),( (3+2cosv_1)sinu_1=(3+2cosv_2)sinu_2 ),( sinv_1=sinv_2 ):} $
Come proseguo ora? So che dovrebbe essere una stupidata ma mi sto impappinando
$ sinv_1=sinv_2 rArr ?$
perchè per l'iniettività io dovrei avere $v_1=v_2$ quindi richiedo che $v in (0, pi/2)$?
(2) qui ho problemi con i paralleli!! Come trovo C?
Da quel che ho capito dovrei tenere fissa la coordinata $u$ e lasciare variare $v$ ma nella pratica poi non saprei cosa fare
Risposte
Le tue carte non sono valide perché \(\alpha\big((0, 2\pi) \times \mathbb R)\big)\) non è diffeomorfo a \((0, 2\pi) \times \mathbb R\) in quanto hai per esempio che \(\alpha(u, v) = \alpha(u, v + 2\pi)\).
"apatriarca":
Le tue carte non sono valide perché \( \alpha\big((0, 2\pi) \times \mathbb R)\big) \) non è diffeomorfo a \( (0, 2\pi) \times \mathbb R \) in quanto hai per esempio che \( \alpha(u, v) = \alpha(u, v + 2\pi) \).
mmh okay, forse il problema sta nel fatto che io prima di ruotare la curva dovrei controllare che essa sia iniettiva?
No, puoi usare delle carte tipo \((0, 2\pi)^2\), \((-\pi, \pi)^2\) e \((-\pi/2, 3\pi/2)^2\) che dovrebbero coprire tutto. Credo che tre sia il numero minimo di carte possibili per un toro.
Forse è meglio se ricomincio:
io ho un'ellissi sul piano y=0 e la voglio ruotare intorno all'asse z, quindi otterrò una sorta di toro ellittico?
Dal momento che la coordinata del centro dell'ellisse è 3 e il raggio è 2, ruotando attorno all'asse z non avrò autointersezioni.
Come vado avanti?
io ho un'ellissi sul piano y=0 e la voglio ruotare intorno all'asse z, quindi otterrò una sorta di toro ellittico?
Dal momento che la coordinata del centro dell'ellisse è 3 e il raggio è 2, ruotando attorno all'asse z non avrò autointersezioni.
Come vado avanti?
"apatriarca":
No, puoi usare delle carte tipo \((0, 2\pi)^2\), \((-\pi, \pi)^2\) e \((-\pi/2, 3\pi/2)^2\) che dovrebbero coprire tutto. Credo che tre sia il numero minimo di carte possibili per un toro.
Ahh okay, grazie mille! Ora ci provo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo