Superficie di rotazione di z attorno ad una retta
Sia $r:{(x=0),(y=2):}$. Calcolare la superficie di rotazione dell'asse z intorno alla retta r. Come devo muovermi in questo esercizio?
Io l'ho svolto come se stessi calcolando la rotazione di una curva attorno ad una retta e mi è uscita l'equazione $x^2+y^2=0$.
E' giusto il risultato?
Io l'ho svolto come se stessi calcolando la rotazione di una curva attorno ad una retta e mi è uscita l'equazione $x^2+y^2=0$.
E' giusto il risultato?
Risposte
Ci sono metodi specifici per determinare le equazioni della superficie descritta da una curva che ruota
attorno ad una retta data. Nel caso tuo, tuttavia, di tali metodi se ne può fare tranquillamente a meno
dal momento che si tratta di far ruotare l'asse z attorno alla retta r che è però parallela a tale asse.
( come puoi verificare da solo). Pertanto la superficie richiesta non è altro che una superficie cilindrica
avente per asse proprio la retta r. Per avere l'equazione di detta superficie basterà determinare le equazioni
di una sezione normale di questa superficie cilindrica fatta con un piano normale all'asse r.
Se scegliamo come piano secante il piano xy che ha equazione z=0, si vede subito che la sezione è una
circonferenza avente per raggio la distanza tra r e l'asse z ( distanza che è 2) e come centro l'intersezione
di r col piano xy ( di equazione z=0) che è il punto di coordinate $(0,2,0)$
Pertanto le equazioni della sezione sono ${z=0,x^2+(y-2)^2+z^2=4}$
In conclusione l'equazione della superficie cilindrica è :
$x^2+(y-2)^2=4$
attorno ad una retta data. Nel caso tuo, tuttavia, di tali metodi se ne può fare tranquillamente a meno
dal momento che si tratta di far ruotare l'asse z attorno alla retta r che è però parallela a tale asse.
( come puoi verificare da solo). Pertanto la superficie richiesta non è altro che una superficie cilindrica
avente per asse proprio la retta r. Per avere l'equazione di detta superficie basterà determinare le equazioni
di una sezione normale di questa superficie cilindrica fatta con un piano normale all'asse r.
Se scegliamo come piano secante il piano xy che ha equazione z=0, si vede subito che la sezione è una
circonferenza avente per raggio la distanza tra r e l'asse z ( distanza che è 2) e come centro l'intersezione
di r col piano xy ( di equazione z=0) che è il punto di coordinate $(0,2,0)$
Pertanto le equazioni della sezione sono ${z=0,x^2+(y-2)^2+z^2=4}$
In conclusione l'equazione della superficie cilindrica è :
$x^2+(y-2)^2=4$
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