Superficie algebricamente semplicemente connessa

[Pierlu11]

Qualcuno potrebbe darmi la definizione di superficie algebricamente semplicemente connessa? (Ed eventualmente chiarirmi in che relazione è col fatto di avere irregolarità nulla (q=0) e di ammettere solo rivestimenti banali)

[killing_buddha]

Non è che è semplicemente una superficie algebrica (cioè il luogo dei punti di $RR^3$ tali che $p(x,y,z)=0$ per un qualche polinomio $p$, diciamo), che è semplicemente connessa? Se sì, è chiaro che essa è il proprio rivestimento universale.

[Pierlu11]

La definizione precisa non sono riuscito a trovarla, ma ho pensato che vuol dire semplicemente connessa nella topologia di Zariski ma non vedo la connessione con $q=0$ e con il fatto che ammette SOLO rivestimenti banali.

[killing_buddha]

Non ho mai sentito di nulla del genere (non che sia un'autorità in merito). Se non altro, perché la topologia di Zariski su una varietà algebrica ne rende la teoria dell'omotopia un po' banale (un sacco di schemi affini sono contraibili per una ragione essenzialmente stupida: ci sono poche funzioni continue $S^n\to X$ se $S^n$ ha la topologia euclidea; e se guardi la sfera come \(\text{Spec}\big(\mathbb R[X_1,...,X_n]/(\sum X_i^2-1)\big)\) hai certo un morfismo di varietà, ma i morfismi tra anelli \(C(X)\to \mathbb R[X_1,...,X_n]/(\sum X_i^2-1)\) non è che siano proprio quello che vorresti per descrivere immagini continue della sfera nel tuo spazio).

Serve che tu ci dica qualcosa di più, un contesto e/o qualche definizione: se le tue varietà sono complesse, forse c'è caso che si possa studiare la teoria dei loro "rivestimenti algebrici" intendendo con questo quei rivestimenti $\tilde X\to X$ che sono ancora varietà algebriche (ma quante ce ne sono di queste superfici?)