Superfici regolari e orientabili
Buongiorno a tutti,
sto facendo un esercizio nel quale devo dimostrare che la superficie $ Ssub RR^3 $ data da $ S={(x,y,z)in R^3 |x+2y>0, z=log(x+2y)} $ è regolare e orientabile.
Quindi per prima cosa devo trovare una sua parametrizzazione e siccome è il primo esercizio di questo tipo che faccio, ho un dubbio proprio su questa:
è corretto prendere, per esempio,
$ U={(x,y)in RR^2|x+2y>0} $
$ X:UinRR^3 ->S $ tale che $ X(u,v)=(u, v, log(u+2v)) $ ?
sto facendo un esercizio nel quale devo dimostrare che la superficie $ Ssub RR^3 $ data da $ S={(x,y,z)in R^3 |x+2y>0, z=log(x+2y)} $ è regolare e orientabile.
Quindi per prima cosa devo trovare una sua parametrizzazione e siccome è il primo esercizio di questo tipo che faccio, ho un dubbio proprio su questa:
è corretto prendere, per esempio,
$ U={(x,y)in RR^2|x+2y>0} $
$ X:UinRR^3 ->S $ tale che $ X(u,v)=(u, v, log(u+2v)) $ ?
Risposte
La parametrizzazione è anche una questione di gusti. La prima cosa da fare è scrivere chiaramente le sostituzioni e in questo caso il mio gusto mi porta a scrivere:
$ { ( x=u ),( y=-v/2 ):} rArr z=ln(u-v) $
$ X(u,v)=(u,-v/2,ln(u-v)) $
$U={(u,v)inRR^2| u>v}$
$X_u=(1,0,1/(u-v))$
$X_v=(0,-1/2,-1/(u-v))$
Sono chiaramente indipendenti perchè non esiste una combinazione lineare tale che $X_u=alphaX_v$
$n=X_u ^^ X_v=| ( hat(i) , hat(j) , hat(k) ),( 1 , 0 , 1/(u-v) ),( 0 , -1/2 , -1/(u-v) ) | =1/(2(u-v))hat(i)+1/(u-v)hat(j)-1/2hat(k)$
$ { ( x=u ),( y=-v/2 ):} rArr z=ln(u-v) $
$ X(u,v)=(u,-v/2,ln(u-v)) $
$U={(u,v)inRR^2| u>v}$
$X_u=(1,0,1/(u-v))$
$X_v=(0,-1/2,-1/(u-v))$
Sono chiaramente indipendenti perchè non esiste una combinazione lineare tale che $X_u=alphaX_v$
$n=X_u ^^ X_v=| ( hat(i) , hat(j) , hat(k) ),( 1 , 0 , 1/(u-v) ),( 0 , -1/2 , -1/(u-v) ) | =1/(2(u-v))hat(i)+1/(u-v)hat(j)-1/2hat(k)$
Okay allora in realtà avevo saltato il passaggio delle parametrizzazioni, ecco perchè sbagliavo!!
Ora ha tutto senso, grazie mille.
Ora ha tutto senso, grazie mille.
Ora però ho un altro dubbio..
Una domanda successiva mi dice di considerare $ P=(0,1,0) in S $
Come faccio a scrivere questo punto come $ P=X(u_0, v_0) $? Non mi tornano i conti e mi sembra che P non stia in S, ma non capisco dove sto sbagliando
mi spiego, io avrei detto
$ { ( u=0 ),( -1/2 v=1),( log(u-v)=0 ):} $
ma non ha senso perchè avrei $ { ( u=0 ),( v=-2):} $ ma $ log(2)!= 0 $
credo di stare sbagliando proprio a ragionare a questo punto, ma allora non so cosa dovrei fare
Una domanda successiva mi dice di considerare $ P=(0,1,0) in S $
Come faccio a scrivere questo punto come $ P=X(u_0, v_0) $? Non mi tornano i conti e mi sembra che P non stia in S, ma non capisco dove sto sbagliando
mi spiego, io avrei detto
$ { ( u=0 ),( -1/2 v=1),( log(u-v)=0 ):} $
ma non ha senso perchè avrei $ { ( u=0 ),( v=-2):} $ ma $ log(2)!= 0 $
credo di stare sbagliando proprio a ragionare a questo punto, ma allora non so cosa dovrei fare
$ S_P={(0,1,0)in R^3 |2>0, z=log(2)!=0)} $
Il punto P non appartiene ad S.
Sicura che non sia P=(1,0,0)? Oppure P=(0,1/2,0)?
Il punto P non appartiene ad S.
Sicura che non sia P=(1,0,0)? Oppure P=(0,1/2,0)?
Ah ecco, mi sembrava. Meglio così, almeno non sto sbagliando io, si vede che avranno sbagliato a scrivere il testo dell'esercizio.
Comunque grazie!
Comunque grazie!
Prego...ma volendo si può procedere con l'esercizio. Prendi P(x,y,z)=(0,1/2,0) e trova P(u,v,z)
"silviaaivlis":
Buongiorno a tutti,
sto facendo un esercizio nel quale devo dimostrare che la superficie $ Ssub RR^3 $ data da $ S={(x,y,z)in R^3 |x+2y>0, z=log(x+2y)} $ è regolare e orientabile.
Quindi per prima cosa devo trovare una sua parametrizzazione e siccome è il primo esercizio di questo tipo che faccio, ho un dubbio proprio su questa:
è corretto prendere, per esempio,
$ U={(x,y)in RR^2|x+2y>0} $
$ X:U in RR^3 ->S $ tale che $ X(u,v)=(u, v, log(u+2v)) $ ?
Bokonon ha ragione a voler manipolare quel \(x+2y\), sicuramente questo semplificherà la vita in seguito, ma lo svolgimento di silvia è corretto, a parte quell'ultima formula; non è \(X\colon U\subset \mathbb R^3 \to ...\), ma invece \(X\colon U\subset \mathbb R^2\to ...\). Infatti, \(U\) è un sottoinsieme di \(\mathbb R^2\), deve esserlo, perché è lo spazio delle coordinate della superficie \(S\). Per definizione una superficie è un oggetto di dimensione 2.
Quanto al secondo punto, secondo me il punto corretto è \(P=(1, 0,0)\), confondere l'ordine di due numeri è un errore di battitura comunissimo
"dissonance":
[quote="silviaaivlis"]Buongiorno a tutti,
sto facendo un esercizio nel quale devo dimostrare che la superficie $ Ssub RR^3 $ data da $ S={(x,y,z)in R^3 |x+2y>0, z=log(x+2y)} $ è regolare e orientabile.
Quindi per prima cosa devo trovare una sua parametrizzazione e siccome è il primo esercizio di questo tipo che faccio, ho un dubbio proprio su questa:
è corretto prendere, per esempio,
$ U={(x,y)in RR^2|x+2y>0} $
$ X:U in RR^3 ->S $ tale che $ X(u,v)=(u, v, log(u+2v)) $ ?
Bokonon ha ragione a voler manipolare quel \( x+2y \), sicuramente questo semplificherà la vita in seguito, ma lo svolgimento di silvia è corretto, a parte quell'ultima formula; non è \( X\colon U\subset \mathbb R^3 \to ... \), ma invece \( X\colon U\subset \mathbb R^2\to ... \). Infatti, \( U \) è un sottoinsieme di \( \mathbb R^2 \), deve esserlo, perché è lo spazio delle coordinate della superficie \( S \). Per definizione una superficie è un oggetto di dimensione 2.
Quanto al secondo punto, secondo me il punto corretto è \( P=(1, 0,0) \), confondere l'ordine di due numeri è un errore di battitura comunissimo[/quote]
Grazie mille per la risposta!!
Effettivamente ho poi provato a svolgere anche il seguito dell'esercizio con entrambe le parametrizzazioni e mi tornava tutto!
(Ah sì, avevo scritto $RR^3$ per distrazione...)
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