Superfici di tipo finito
Salve a tutti,
Volevo trovare un esempio in $\mathbb{R}^3$ di superficie di tipo finito, che fosse facile, con $R\ne 0$, cioè che non fosse compatta. Ho pensato al paraboloide ellittico. Chiaramente non è una superficie compatta. Ora però voglio accertarmi che sia effettivamente di tipo finito. Vorrei trovare una superficie compatta con bordo a cui, togliendo dei punti (uno solo io congetturerei), si possa far corrispondere tramite un omeomorfismo il paraboloide.
La sfera $S^2$ è sì compatta, ma non va bene perchè è senza bordo, in quanto è chiusa.
Comincio ad avere il sospetto che non sia facile rispondere a questa domanda, ecco perchè lo chiedo qui. Dite che ci si può arrivare pensandoci un pò? (Se si, datemi qualche indizio per favore)
Grazie
Volevo trovare un esempio in $\mathbb{R}^3$ di superficie di tipo finito, che fosse facile, con $R\ne 0$, cioè che non fosse compatta. Ho pensato al paraboloide ellittico. Chiaramente non è una superficie compatta. Ora però voglio accertarmi che sia effettivamente di tipo finito. Vorrei trovare una superficie compatta con bordo a cui, togliendo dei punti (uno solo io congetturerei), si possa far corrispondere tramite un omeomorfismo il paraboloide.
La sfera $S^2$ è sì compatta, ma non va bene perchè è senza bordo, in quanto è chiusa.
Comincio ad avere il sospetto che non sia facile rispondere a questa domanda, ecco perchè lo chiedo qui. Dite che ci si può arrivare pensandoci un pò? (Se si, datemi qualche indizio per favore)
Grazie
Risposte
Non sono sicuro di capire cosa vuoi fare. Vuoi una superficie a bordo con la proprieta' che, una volta che togli dei punti (richiedi che sia un numero finito?) diventi omeomorfa al paraboloide ellittico (che tra parentesi e' omeomorfo a un piano).
Se richiedi che il numero di punti da togliere sia finito, non credo si possa fare, perche' una superficie a bordo ha infiniti punti di bordo e quindi togliendone un numero finito ti restano necessariamente punti di bordi.
Se puoi togliere un numero infinito di punti, allora un disco chiuso fa al caso tuo.
Se richiedi che il numero di punti da togliere sia finito, non credo si possa fare, perche' una superficie a bordo ha infiniti punti di bordo e quindi togliendone un numero finito ti restano necessariamente punti di bordi.
Se puoi togliere un numero infinito di punti, allora un disco chiuso fa al caso tuo.
Ti ringrazio per la risposta.
Sono d'accordo su tutto. Per risponderti, volevo togliere, appunto, un numero finito di punti. Mi sembra proprio di aver capito, dalla definizione di "superfici di tipo finito"
http://it.wikipedia.org/wiki/Classifica ... ipo_finito
che $R<\infty$.
A questo punto la mia domanda diventa: Esiste in $\mathbb{R}^3$ un esempio, abbastanza semplice, di superficie di "tipo finito" con $R>0$?
Sono d'accordo su tutto. Per risponderti, volevo togliere, appunto, un numero finito di punti. Mi sembra proprio di aver capito, dalla definizione di "superfici di tipo finito"
http://it.wikipedia.org/wiki/Classifica ... ipo_finito
che $R<\infty$.
A questo punto la mia domanda diventa: Esiste in $\mathbb{R}^3$ un esempio, abbastanza semplice, di superficie di "tipo finito" con $R>0$?
In generale credo che la definizione di varieta' con bordo includa varieta' senza bordo. Infatti, per definizione di varieta' con bordo, si richiede che ogni punto abbia un intorno omeomorfo a una palletta o a una mezza palletta. Le varieta' senza bordo soddisfano questa definizione.
Quindi il piano ottenuto rimuovendo un punto dalla sfera dovrebbe essere una superficie di tipo finito.
Piu' in generale, se prendi un disco chiuso con r buchi, anche quella e' una superficie (con bordo) di tipo finito.
Quindi il piano ottenuto rimuovendo un punto dalla sfera dovrebbe essere una superficie di tipo finito.
Piu' in generale, se prendi un disco chiuso con r buchi, anche quella e' una superficie (con bordo) di tipo finito.
Beh, ora ho capito. Allora credo che il problema sia risolto. Grazie mille 
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