Superfici biolomorfe
Quand'è che due superfici di Riemann del tipo
$\mathbb{C}\backslash \Lambda_{\tau_1}$ e $\mathbb{C}\backslash \Lambda_{\tau_2}$ sono biolomorfe? (è un se e solo se)
biolomorfe significa olomorfe e biiettive
diciamo che x e y appartengono alla stessa classe di equivalenza [x] di $\mathbb{C}\backslash \Lambda_{\tau_1}$, ossia $x\sim y$ se x-y=n+m\tau$
$\mathbb{C}\backslash \Lambda_{\tau_1}$ e $\mathbb{C}\backslash \Lambda_{\tau_2}$ sono biolomorfe? (è un se e solo se)
biolomorfe significa olomorfe e biiettive
diciamo che x e y appartengono alla stessa classe di equivalenza [x] di $\mathbb{C}\backslash \Lambda_{\tau_1}$, ossia $x\sim y$ se x-y=n+m\tau$
Risposte
Due tori così fatti sono biolomorfi se e solo se
$\tau_2=\frac{a\tau_{1}+b}{c\tau_{1}+d}$ con $ad-bc=1$ e $a,b,c,d\in RR$.
$\tau_2=\frac{a\tau_{1}+b}{c\tau_{1}+d}$ con $ad-bc=1$ e $a,b,c,d\in RR$.
Sapresti spiegarmi il perchè? grazie
Se ti dico proprietà universale del rivestimento universale, strabuzzi gli occhi oppure concordi con me che basta a finire?
Avrei bisogno di un ulteriore spiegazione...
Si fa (molto) lunga, allora. Ho lezione tra mezz'ora, rimando ad oggi pomeriggio...
perfetto, grazie mille!
Ok, eccomi qua. 
Per prima cosa, mi sembra di capire da altri thread che sai che [tex]\pi \colon \mathbb C \to \mathbb C / \Lambda[/tex] è un rivestimento. Poi, siccome [tex]\mathbb C[/tex] è semplicemente connesso (è contraibile, infatti!) allora risulterà essere il rivestimento universale.
Ora, il rivestimento universale ha questa simpatica proprietà (che a casa mia è la sua definizione): se [tex]p \colon Y \to X[/tex] è un altro rivestimento, allora esiste un'unica mappa [tex]f \colon X \to Y[/tex] tale che il seguente diagramma sia commutativo:
[tex]\xymatrix{ \widetilde{X} \ar[d]^{\pi} \ar@{.>}[r]^{\exists ! f} & Y \ar[dl]^{p} \\ X }[/tex]
Ora, nel tuo caso, assumi di avere un'applicazione biolomorfa [tex]f \colon \mathbb C / \Lambda_1 \to \mathbb C / \Lambda_2[/tex]. Allora potremo considerare il seguente diagramma:
[tex]\xymatrix{ \mathbb C \ar[d]^{\pi_1} \ar@{.>}[r]^{F} & \mathbb C \ar[d]^{\pi_2} \\ \mathbb C / \Lambda_1 \ar[r]^f & \mathbb C / \Lambda_2 }[/tex]
Siccome [tex]\pi_1 \colon \mathbb C \to \mathbb C / \Lambda_1[/tex] è il rivestimento universale e [tex]f[/tex] è un biolomorfismo, segue che [tex]f \circ \pi_1[/tex] è il rivestimento universale di [tex]\mathbb C / \Lambda_2[/tex]. Siccome [tex]\pi_2 \colon \mathbb C \to \mathbb C / \Lambda_2[/tex] è il rivestimento universale di [tex]\mathbb C / \Lambda_2[/tex], dovrà esistere un'unico biolomorfismo (conseguenza formale della proprietà universale!) [tex]F \colon \mathbb C \to \mathbb C[/tex] tale da far commutare il diagramma di prima.
Ora, un biolomorfismo da [tex]\mathbb C[/tex] a [tex]\mathbb C[/tex] come potrà mai essere fatto? Necessariamente, è una trasformazione affine (non costante), quindi [tex]F(z) = a z + b[/tex] con [tex]a,b \in \mathbb C[/tex] e [tex]a \ne 0[/tex]. Inoltre, siccome [tex]F[/tex] fattorizza attraverso il quoziente, dovrà aversi (semplicemente affinché la mappa sia ben definita a livello insiemistico) [tex]F(\Lambda_1) \subset \Lambda_2[/tex]. D'altra parte, essendo [tex]F[/tex] un biolomorfismo, possiamo chiamare [tex]G[/tex] la sua inversa; per la stessa ragione di prima si avrà [tex]G(\Lambda_2) \subset \Lambda_1[/tex] e quindi [tex]\Lambda_2 \subset F(\Lambda_1)[/tex], sicché [tex]F(\Lambda_1) = \Lambda_2[/tex].
Pertanto [tex]F(0) = b \in \Lambda_2[/tex]. La traslazione [tex]z \mapsto z - b[/tex] è un biolomorfismo di [tex]\mathbb C[/tex] in sé che fattorizza attraverso il quoziente (se vogliamo fare i raffinati, per la proprietà universale del quoziente XD), quindi a meno di comporre [tex]F[/tex] con questa traslazione, possiamo assumere [tex]b = 0[/tex]. A questo punto, abbiamo che esiste [tex]a \in \mathbb C^*[/tex] tale che [tex]a \Lambda_1 = \Lambda_2[/tex] (una roto-dilatazione, se esiste questo termine).
Viceversa, se esiste [tex]a \in \mathbb C^*[/tex] tale che [tex]a \Lambda_1 = \Lambda_2[/tex], allora è praticamente ovvio che i due tori siano biolomorfi.
Per prima cosa, mi sembra di capire da altri thread che sai che [tex]\pi \colon \mathbb C \to \mathbb C / \Lambda[/tex] è un rivestimento. Poi, siccome [tex]\mathbb C[/tex] è semplicemente connesso (è contraibile, infatti!) allora risulterà essere il rivestimento universale.
Ora, il rivestimento universale ha questa simpatica proprietà (che a casa mia è la sua definizione): se [tex]p \colon Y \to X[/tex] è un altro rivestimento, allora esiste un'unica mappa [tex]f \colon X \to Y[/tex] tale che il seguente diagramma sia commutativo:
[tex]\xymatrix{ \widetilde{X} \ar[d]^{\pi} \ar@{.>}[r]^{\exists ! f} & Y \ar[dl]^{p} \\ X }[/tex]
Ora, nel tuo caso, assumi di avere un'applicazione biolomorfa [tex]f \colon \mathbb C / \Lambda_1 \to \mathbb C / \Lambda_2[/tex]. Allora potremo considerare il seguente diagramma:
[tex]\xymatrix{ \mathbb C \ar[d]^{\pi_1} \ar@{.>}[r]^{F} & \mathbb C \ar[d]^{\pi_2} \\ \mathbb C / \Lambda_1 \ar[r]^f & \mathbb C / \Lambda_2 }[/tex]
Siccome [tex]\pi_1 \colon \mathbb C \to \mathbb C / \Lambda_1[/tex] è il rivestimento universale e [tex]f[/tex] è un biolomorfismo, segue che [tex]f \circ \pi_1[/tex] è il rivestimento universale di [tex]\mathbb C / \Lambda_2[/tex]. Siccome [tex]\pi_2 \colon \mathbb C \to \mathbb C / \Lambda_2[/tex] è il rivestimento universale di [tex]\mathbb C / \Lambda_2[/tex], dovrà esistere un'unico biolomorfismo (conseguenza formale della proprietà universale!) [tex]F \colon \mathbb C \to \mathbb C[/tex] tale da far commutare il diagramma di prima.
Ora, un biolomorfismo da [tex]\mathbb C[/tex] a [tex]\mathbb C[/tex] come potrà mai essere fatto? Necessariamente, è una trasformazione affine (non costante), quindi [tex]F(z) = a z + b[/tex] con [tex]a,b \in \mathbb C[/tex] e [tex]a \ne 0[/tex]. Inoltre, siccome [tex]F[/tex] fattorizza attraverso il quoziente, dovrà aversi (semplicemente affinché la mappa sia ben definita a livello insiemistico) [tex]F(\Lambda_1) \subset \Lambda_2[/tex]. D'altra parte, essendo [tex]F[/tex] un biolomorfismo, possiamo chiamare [tex]G[/tex] la sua inversa; per la stessa ragione di prima si avrà [tex]G(\Lambda_2) \subset \Lambda_1[/tex] e quindi [tex]\Lambda_2 \subset F(\Lambda_1)[/tex], sicché [tex]F(\Lambda_1) = \Lambda_2[/tex].
Pertanto [tex]F(0) = b \in \Lambda_2[/tex]. La traslazione [tex]z \mapsto z - b[/tex] è un biolomorfismo di [tex]\mathbb C[/tex] in sé che fattorizza attraverso il quoziente (se vogliamo fare i raffinati, per la proprietà universale del quoziente XD), quindi a meno di comporre [tex]F[/tex] con questa traslazione, possiamo assumere [tex]b = 0[/tex]. A questo punto, abbiamo che esiste [tex]a \in \mathbb C^*[/tex] tale che [tex]a \Lambda_1 = \Lambda_2[/tex] (una roto-dilatazione, se esiste questo termine).
Viceversa, se esiste [tex]a \in \mathbb C^*[/tex] tale che [tex]a \Lambda_1 = \Lambda_2[/tex], allora è praticamente ovvio che i due tori siano biolomorfi.
Sei stato chiarissimo, grazie mille!
Avrei un'altra domanda da farti: posto che $\Lambda=<1,\tau>$, che ruolo giocano in tutto ciò $\tau=i$ e $\tau=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$?
Avrei un'altra domanda da farti: posto che $\Lambda=<1,\tau>$, che ruolo giocano in tutto ciò $\tau=i$ e $\tau=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$?
Mah... sinceramente non capisco molto bene la domanda. Quando [tex]\tau = i[/tex] e [tex]\tau = \omega[/tex] hai delle simmetrie particolari, tutto qui... Non mi viene in mente altro.
Si, anche a me, però mi vengono segnati come casi molto importanti a cui non riesco ad attribuire l'importanza.
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