Sullo spazio duale e la trasposta di un'applicazione lineare
buon giorno, stavo studiando per conto mio degli argomenti che non si sono fatti a lezioni, e ho trovato che esiste un significato geometrico alla trasposizione di una matrice.
purtroppo tale significato mi sfugge, per cui vi chiedo aiuto. so solo che ha a che fare con lo spazio duale $V*$, ossia con le applicazioni lineari del tipo $V\mapsto \mathbb K$.
insomma, alla seguente matrice
$((1,0),(1,2))$
io so dare un significato geometrico ben preciso: è l'applicazione che al punto (x,y) mi associa (x,x+2y).
Ora prendo la trasposta
$((1,1),(0,2))$
facendo lo stesso ragionamento di prima, trovo che quest'altra applicazione associa a (x,y) l'applicazione (x+y,2y)$.
Mi chiedo che legame c'è tra l'ultima applicazione e la prima? infatti sempre leggendo sul libro ho letto che per qualche motivo quest'ultima APPLICAZIONE VIENE detta "la trasposta" della prima...
grazie per le vostre spiegazioni
purtroppo tale significato mi sfugge, per cui vi chiedo aiuto. so solo che ha a che fare con lo spazio duale $V*$, ossia con le applicazioni lineari del tipo $V\mapsto \mathbb K$.
insomma, alla seguente matrice
$((1,0),(1,2))$
io so dare un significato geometrico ben preciso: è l'applicazione che al punto (x,y) mi associa (x,x+2y).
Ora prendo la trasposta
$((1,1),(0,2))$
facendo lo stesso ragionamento di prima, trovo che quest'altra applicazione associa a (x,y) l'applicazione (x+y,2y)$.
Mi chiedo che legame c'è tra l'ultima applicazione e la prima? infatti sempre leggendo sul libro ho letto che per qualche motivo quest'ultima APPLICAZIONE VIENE detta "la trasposta" della prima...
grazie per le vostre spiegazioni
Risposte
Innanzitutto, il duale non c'entra nulla (infatti le matrici mandano vettori in vettori, e non in scalari!).
Chiama \(\mathcal{A}\) l'applicazione associata alla matrica \(A\) rispetto alla base canonica (sia nello spazio di partenza che in quello d'arrivo, che sono due copie dello stesso spazio) ed \(\mathcal{A}^*\) l'applicazione associata ad \(A^T\); definendo il prodotto scalare in \(V\) come si sa, i.e. ponendo \(\langle x,y\rangle = x^T\ I\ y\), si ha:
\[
\langle \mathcal{A}x ,y\rangle = (x^T\ A^T)\ I\ y = x^T I (A^T\ y)=\langle x,\mathcal{A}^* y\rangle
\]
e non è difficile verificare che \(\mathcal{A}^*\) è l'unica applicazione lineare con tale proprietà. La \(\mathcal{A}^*\) si chiama (applicazione) aggiunta di \(\mathcal{A}\).
La \(\mathcal{A}\) e la \(\mathcal{A}^*\) sono legate in modo molto interessante: infatti, ad esempio, si vede che \(\ker \mathcal{A} = (\operatorname{im} \mathcal{A}^*)^\bot\) e \(\ker \mathcal{A}^* = (\operatorname{im} \mathcal{A})^\bot\)... Ma ci sono anche altre relazioni importanti.
Prova a cercare su un buon testo di Geometria.
Chiama \(\mathcal{A}\) l'applicazione associata alla matrica \(A\) rispetto alla base canonica (sia nello spazio di partenza che in quello d'arrivo, che sono due copie dello stesso spazio) ed \(\mathcal{A}^*\) l'applicazione associata ad \(A^T\); definendo il prodotto scalare in \(V\) come si sa, i.e. ponendo \(\langle x,y\rangle = x^T\ I\ y\), si ha:
\[
\langle \mathcal{A}x ,y\rangle = (x^T\ A^T)\ I\ y = x^T I (A^T\ y)=\langle x,\mathcal{A}^* y\rangle
\]
e non è difficile verificare che \(\mathcal{A}^*\) è l'unica applicazione lineare con tale proprietà. La \(\mathcal{A}^*\) si chiama (applicazione) aggiunta di \(\mathcal{A}\).
La \(\mathcal{A}\) e la \(\mathcal{A}^*\) sono legate in modo molto interessante: infatti, ad esempio, si vede che \(\ker \mathcal{A} = (\operatorname{im} \mathcal{A}^*)^\bot\) e \(\ker \mathcal{A}^* = (\operatorname{im} \mathcal{A})^\bot\)... Ma ci sono anche altre relazioni importanti.
Prova a cercare su un buon testo di Geometria.
Innanzitutto, il duale non c'entra nulla
Beh, insomma... cosa pensi che sia (nelle tue notazioni) la matrice trasposta di $A$ se non la matrice dell'applicazione trasposta (l'immagine di $\mathcal A: V\to W$ mediante la dualita' canonica)?
Fissata una base per il dominio-codominio di $\mathcal A$, Indichiamo con $a_{ij}$ le entrate della matrice di $\mathcal A$, e con $a_{ij}^\star$ le entrate di $\mathcal A^\star$ nelle rispettive basi duali $\{\xi_i\}$ per $V^\star$ ed $\{\eta_j\}$ per $W^\star$. Si ha $\mathcal A^\star(\eta_i) = \sum a^\star_{ki}\xi_k$; calcolando questo in $v_j\in \cal V$ otteniamo per il primo termine
\[
\mathcal A^\star(\eta_i).v_j = \eta_i(\mathcal A(v_j)) =
\eta_i\big(\sum_{k} a_{kj}w_k\big)=a_{ij}
\]
mentre il secondo termine d\`a
\[
\big(\sum_k a^\star_{ki}\xi_k\big)v_j = a^\star_{ji}
\]
da cui si conclude.
sto cercando disperatamente di capire che cos'è l'applicazione trasposta...o meglio, l'ho capito teoricamente, ma non riesco a riprodurne un esempio pratico.
Per esempio, mi piacerebbe trovare l'applicazione trasposta di questa
$f:\mathbb R^2\mapsto \mathbb R^4$
$f((x),(y)) = ((x),(y),(x+y),(x-y))$
Matrice rispetto alla base canonica
$A=((1,0),(0,1),(1,1),(1,-1))$
Adesso mi piacerebbe scrivere la matrice dell'applicazione trasposta rispetto alla base duale di R2 e R4.
$\mathbb R^2D=\{(x,y)\mapsto x, (x,y)\mapsto y\}$
$\mathbb R^4D=\{(x,y,z,t)\mapsto x, (x,y,z,t)\mapsto y,(x,y,z,t)\mapsto z, (x,y,z,t)\mapsto t\}$
L'appliazione trasposta a f è definita come
Per esempio, mi piacerebbe trovare l'applicazione trasposta di questa
$f:\mathbb R^2\mapsto \mathbb R^4$
$f((x),(y)) = ((x),(y),(x+y),(x-y))$
Matrice rispetto alla base canonica
$A=((1,0),(0,1),(1,1),(1,-1))$
Adesso mi piacerebbe scrivere la matrice dell'applicazione trasposta rispetto alla base duale di R2 e R4.
$\mathbb R^2D=\{(x,y)\mapsto x, (x,y)\mapsto y\}$
$\mathbb R^4D=\{(x,y,z,t)\mapsto x, (x,y,z,t)\mapsto y,(x,y,z,t)\mapsto z, (x,y,z,t)\mapsto t\}$
L'appliazione trasposta a f è definita come
l'applicazione che ad ogni elemento di Hom(R^4,R) associa un'applicazione L in Hom (R2,R) tale che $L=g\circ f$.
La matrice associata di L dovrebbe contenere come colonne $L(v_1), L(v_2)...$
dove $v_i$ è l'iesimo vettore della base duale di R4 (scritta sopra).
Non ho idea di come ulteriormente procedere...sono confuso
La matrice associata di L dovrebbe contenere come colonne $L(v_1), L(v_2)...$
dove $v_i$ è l'iesimo vettore della base duale di R4 (scritta sopra).
Non ho idea di come ulteriormente procedere...sono confuso
Ti ho dimostrato sopra che, nelle basi duali, la matrice e' semplicemente la trasposta, scambi righe e colonne...
lo so ma finchè non riesco a riprodurre in pratica il ragionamento, per lo meno in casi semplici, non riterrò di aver capito questo interessante argomento
Provo con un ragionamento un po' sloppy ma graficamente evidente.
Come e' definita "astrattamente" (cioe' n modo coordinate-free) la trasposta di $f$? Deve prendere una forma lineare $\alpha$ su $\mathbb R^4$ e mandarla in una forma lineare $f^\star(\alpha)$ su $\mathbb R^2$: il modo giusto di farlo e' mandare $\alpha : \mathbb R^4\to \mathbb R$ in $\alpha\circ f : \mathbb R^2\to \mathbb R$... Penso che tu abbia ben chiaro che una forma lineare si rappresenta come una matrice ad una sola riga: nulla ti impedisce di pensare che $\alpha\circ f$ sia la matrice a una riga risultante dal prodotto di $\alpha=(\alpha_1,..., \alpha_4)$ con $A$. Allora
\[
\alpha\cdot A=\begin{pmatrix}
\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha_4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4
\end{pmatrix}=A^t \alpha^t
\]
Come e' definita "astrattamente" (cioe' n modo coordinate-free) la trasposta di $f$? Deve prendere una forma lineare $\alpha$ su $\mathbb R^4$ e mandarla in una forma lineare $f^\star(\alpha)$ su $\mathbb R^2$: il modo giusto di farlo e' mandare $\alpha : \mathbb R^4\to \mathbb R$ in $\alpha\circ f : \mathbb R^2\to \mathbb R$... Penso che tu abbia ben chiaro che una forma lineare si rappresenta come una matrice ad una sola riga: nulla ti impedisce di pensare che $\alpha\circ f$ sia la matrice a una riga risultante dal prodotto di $\alpha=(\alpha_1,..., \alpha_4)$ con $A$. Allora
\[
\alpha\cdot A=\begin{pmatrix}
\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha_4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4
\end{pmatrix}=A^t \alpha^t
\]
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