Sulle strutture algebriche....

[IgnoranteDaSchifo]

Questo esercizio mi sta facendo impazzire...eppure sembrava facile...La mia benedizione a chi lo risolve....
Sia X un insieme non vuoto e sia C(X)l'insieme delle applicazioni di X in R.Definiamo due operazioni + e * in C(X) ponendo:
(f+g)(x)=f(x)+g(x) e (f*g)(x)=f(x)*g(x)
per ogni f,g appartenente a C(X) e per ogni x appartenente a X

1) Provare che (C(X);+;*) è un anello commutativo unitario
2) provare che se X contiene pi di un elemento allora C(X) non è un dominio di integrità
3) Descrivere gli elementi invertibili di C(X)
4)Sia Y un sottoinsieme prorprio non vuoto di X.Posto
Iy=(f appartenente a C(X) tale che f(x)=0 per ogni x appartenete ad Y)
provare che Iy è un ideale non banale di C(X) e che tale ideale è massimale nell'insieme I degli ideali prorpri di C(X) parzialmente ordinato per inclusione se e solo se Y è un singleton.

In particolare il primo punto ma scusate (C(X);+;*) non è addirittura un campo???? ba....
Grazie mille in anticipo.

[ciampax]

Sarebbe un campo se per ogni $f$ esistesse una funzione che chiamo $f'$ (visto che se usassi $f^{-1}$ ci sarebbero incomprensioni di notazione) tale che

$f\star f'=1_{\mathbb{R}}$ o equivalentemente $f(x)\cdot f'(x)=1_{\mathbb{R}},\qquad\forall\ x\in X$.

Questo è vero se e solo se la funzione $f$ non si annulla mai, ma ovviamente hai una moltitudine di funzioni in $C(X)$ che possono annullarsi (ad esempio le funzioni polinomiali!)

Attento alla definizione della seconda operazione: il simbolo $\star$ indica una "moltiplicazione" tra funzioni in $C(X)$, mentre il secondo simbolo (che io ho indicato con $\cdot$) è l'usuale prodotto tra numeri reali (visto che le funzioni hanno valori in $\mathbb{R}$).

[IgnoranteDaSchifo]

saggia osservazione....