Sulle proiettività di $P^1(CC)$

[Dorian1]

Propongo un altro esercizio che (secondo me) pùò risultare interessante...

Sia $f$:$P^1(CC)->P^1(CC)$ una proiettività (cioè un'applicazione proiettiva invertibile della retta proiettiva complessa). Si può mostrare facilmente che esistono 2 punti (siano $P$ e $Q$) uniti per la traformazione $f$(in simboli $f(P)=P$ e $f(Q)=Q$). Supponiamo che $(P,Q,X,f(X))=-1$, $AAX in P^1(CC)$ ($f(X)$ è il quarto armonico dopo $P$,$Q$ ed $X$).
La domanda è: $f$ è necessariamente un'involuzione della retta proiettiva? (cioè $f^2=id_(P^1(CC))$?).
Se la risposta è si, si può fare a meno dell'ipotesi "$f$ è invertibile"?
Se la risposta è no, quali ipotesi bisogna aggiungere affinchè valga la tesi?

Buon divertimento!

[killing_buddha]

A naso la risposta dovrebbe essere sì: -1 è il rapporto degli autovalori di $f$, e questo rapporto si trova ogni volta che f è simile alla matrice
$((\alpha,0),(0,-\alpha))$
a meno di proporzionalità il suo quadrato è l'identità.
D'altra parte però le proiettività di $\mathbb{P}(\mathbb{C})$ sono trasformazioni di Möbius, e non tutte loro sono involuzioni (le inversioni sì, ma le traslazioni.. o peggio, le omotetie..). Devo dire che non so cosa rispondere.

[Dorian1]

Questo è il ragionamento che ho fatto io: siccome le proiettività conservano i birapporti, accade che:

$(P,Q,X,f(X))=(f(P),f(Q),f(X),f^2(X))=(P,Q,f(X),f^2(X))=-1$

inoltre se $(A,B,C,D)=x$, si ha che $(A,B,D,C)=1/x$... Si deduce quindi che:

($x=-1$) $(P,Q,f(X),f^2(X))=-1=(P,Q,f^2(X),X)$

Abbiamo ora quest'uguaglianza:

$(P,Q,X,f(X))=(P,Q,f^2(X),X)$

dati 3 punti ed il valore del birapporto, il punto mancante risulta univocamente determinato... Quindi $f^2(X)=X$

L'invertibilità di $f$ è necessaria. Senza quest'ipotesi non avremmo potuto nemmeno cominciare il ragionamento...