Sulla norma.

[lorandrum]

Prendete un qualsiasi prodotto hermitiano su uno spazio vettoriale (definito sul campo complesso) e la norma da esso indotta; vorrei dimostrare che è effettivamente una norma ma ho alcuni problemi nel provare la disuguaglianza triangolare, mi date una mano?

[Sk_Anonymous]

Siano $X$ uno spazio vettoriale sul campo $K$ dei numeri reali o complessi, $\varphi$ un prodotto scalare hermitiano su $X$ e ||$\cdot$|| la norma indotta. Per ogni $u, v \in X$: ||u + v|$|^2$ = ||u|$|^2$ + ||v|$|^2$ + $2Re(\varphi(u,v)) \le$ ||u|$|^2$ + ||v|$|^2$ + 2$|\varphi(u,v)| \le$ ||u|$|^2$ + ||v|$|^2$ + 2||u|| ||v|| = (||u|| + ||v||$)^2$, per via della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz-Bunjakovskij. Da qui la tesi.