Sulla def. di Topologia Cofinita
Salve a tutti,
leggo sul testo una strana cosa sulla definizione di topologia cofinita, ovvero avendo \((a,\tau)\) spazio topologico l'insieme \(\tau\) dicesi essere topologia cofinita se $$\tau=\{x|x \subseteq a \wedge (a-x) \text{ è finito}\} \quad \quad [1]$$ ora nel dimostrare che \((a,\tau)\) forma realmente uno spazio topologico non riesco a fare vedere che \( \emptyset \in \tau\), ovvero in particolare che \( (a-\emptyset)=a \text{ è finito}\)
A dire il vero penso che sbaglia il testo, ovvero doveva scrivere/definire la topologia in questo modo $$\tau=\{x|x \subseteq a \wedge (a-x) \text{ è finito}\} \cup \{\emptyset\} \quad \quad [2]$$ ma vorrei una conferma di quanto penso (Ho chiesto al docente se esiste una errata corrige del testo ma mai ne ha fatta una 
)! Ovviamente nel caso \([1]\) se \(a \) fosse finito il gioco è fatto, ma se ha \(a \) fosse infinito il gioco si ferma ergo tanto vale unire il tutto con il singoletto del vuoto.. 
Ringrazio in anticipo!
Saluti
leggo sul testo una strana cosa sulla definizione di topologia cofinita, ovvero avendo \((a,\tau)\) spazio topologico l'insieme \(\tau\) dicesi essere topologia cofinita se $$\tau=\{x|x \subseteq a \wedge (a-x) \text{ è finito}\} \quad \quad [1]$$ ora nel dimostrare che \((a,\tau)\) forma realmente uno spazio topologico non riesco a fare vedere che \( \emptyset \in \tau\), ovvero in particolare che \( (a-\emptyset)=a \text{ è finito}\)
A dire il vero penso che sbaglia il testo, ovvero doveva scrivere/definire la topologia in questo modo $$\tau=\{x|x \subseteq a \wedge (a-x) \text{ è finito}\} \cup \{\emptyset\} \quad \quad [2]$$ ma vorrei una conferma di quanto penso (Ho chiesto al docente se esiste una errata corrige del testo ma mai ne ha fatta una )! Ovviamente nel caso \([1]\) se \(a \) fosse finito il gioco è fatto, ma se ha \(a \) fosse infinito il gioco si ferma ergo tanto vale unire il tutto con il singoletto del vuoto.. Ringrazio in anticipo!
Saluti
Risposte
Si, è come dici tu.
Similmente potevi ragionare sul fatto che l'unione finita di sottoinsiemi finiti non poteva generale un insieme numerabile.
Similmente potevi ragionare sul fatto che l'unione finita di sottoinsiemi finiti non poteva generale un insieme numerabile.
"vict85":thanks
Si, è come dici tu.
Hai ragione. In topologia cofinita la topologia e' fatta dall'insieme vuoto e tutti i sottoinsiemi con complementare finito. In particolare i chiusi della topologia sono tutto l'insieme e tutti i sottoinsiemi finiti. A volte si definisce una topologia indicando gli aperti "non banali", ovvero quelli che non sono tutto l'insieme e l'insieme vuoto, sottointendendo che quelli ci sono.
Nota a margine:
Se l'insieme e' finito la topologia cofinita e la topologia discreta. Dal momento che la topologia cofinita da' l'idea di una topologia che non e' fine, mentre la topologia discreta e' la piu' fine di tutte, questo suggerisce che su un insieme finito ci possano essere pochissime topologie. In effetti, si puo' dimostrare in generale che se un insieme e' finito, qualunque topologia $T_1$ (ovvero in cui i singoletti sono chiusi) coincide con la topologia discreta.
Edit: Ops...arrivato tardi.
Nota a margine:
Se l'insieme e' finito la topologia cofinita e la topologia discreta. Dal momento che la topologia cofinita da' l'idea di una topologia che non e' fine, mentre la topologia discreta e' la piu' fine di tutte, questo suggerisce che su un insieme finito ci possano essere pochissime topologie. In effetti, si puo' dimostrare in generale che se un insieme e' finito, qualunque topologia $T_1$ (ovvero in cui i singoletti sono chiusi) coincide con la topologia discreta.
Edit: Ops...arrivato tardi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo