Sui generatori del gruppo di Lorentz
Salve a tutti. Sto cercando di risolvere un esercizio base di teoria dei gruppi, che dice: "si consideri un generico elemento di SO(3,1) connesso con l'identità sui quadrivettori e se ne scriva la forma infinitesima."
Le mie difficoltà nascono dal fatto che fino ad adesso ho lavorato sempre con gruppi di trasformazione ad un parametro, ad esempio ho svolto esercizi in cui fosse richiesta la forma infinitesima di oggetti come il consueto elemento di SO(3) che produce la rotazione attorno ad un asse della terna cartesiana ortogonale, e quindi vi figura solo un parametro, che è l'angolo di rotazione attorno a quell'asse. Mi sfugge come si operi la generalizzazione della scrittura della forma infinitesima di un elemento del gruppo nel caso esso dipenda da piû parametri.
Il mio tentativo è il seguente. Nel caso del gruppo di Lorentz, se un generico elemento è rappresentato con una matrice 4X4 di elementi del tipo $f_j^i(s_1,..,s_6)$ dove le $s_i$ sono i sei parametri che individuano l'elemento del gruppo, allora dalla sua azione che porta le componenti di un 4-vettore $x$ in $x'$ :
$ x'^i = f_j^i x^j $
penserei di scrivere la forma infinitesima per $x'$ , cioè al primo ordine nei parametri, nel modo:
$ x'^i= x^i + x^j \frac{\partial f_j^i}{\partial s_k}| _{s=0} s_k$
Dove nella derivata parziale tutti i parametri sono posti a zero. Oltre questo tentativo non saprei fare altro, e non so nemmeno se è giusto. Ad esempio mi chiedo se si possa dire qualche cosa di più su quegli elementi di matrice, esplicitarle o dire qualche cosa circa il significato dei parametri. Grazie a chi vorrà illuminarmi.
Le mie difficoltà nascono dal fatto che fino ad adesso ho lavorato sempre con gruppi di trasformazione ad un parametro, ad esempio ho svolto esercizi in cui fosse richiesta la forma infinitesima di oggetti come il consueto elemento di SO(3) che produce la rotazione attorno ad un asse della terna cartesiana ortogonale, e quindi vi figura solo un parametro, che è l'angolo di rotazione attorno a quell'asse. Mi sfugge come si operi la generalizzazione della scrittura della forma infinitesima di un elemento del gruppo nel caso esso dipenda da piû parametri.
Il mio tentativo è il seguente. Nel caso del gruppo di Lorentz, se un generico elemento è rappresentato con una matrice 4X4 di elementi del tipo $f_j^i(s_1,..,s_6)$ dove le $s_i$ sono i sei parametri che individuano l'elemento del gruppo, allora dalla sua azione che porta le componenti di un 4-vettore $x$ in $x'$ :
$ x'^i = f_j^i x^j $
penserei di scrivere la forma infinitesima per $x'$ , cioè al primo ordine nei parametri, nel modo:
$ x'^i= x^i + x^j \frac{\partial f_j^i}{\partial s_k}| _{s=0} s_k$
Dove nella derivata parziale tutti i parametri sono posti a zero. Oltre questo tentativo non saprei fare altro, e non so nemmeno se è giusto. Ad esempio mi chiedo se si possa dire qualche cosa di più su quegli elementi di matrice, esplicitarle o dire qualche cosa circa il significato dei parametri. Grazie a chi vorrà illuminarmi.
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