Suddivisioni baricentriche
Sto trovando parecchie difficoltà a capire la definizione di "suddivisione baricentrica" esposta su questi appunti:
https://www1.mat.uniroma1.it/people/sal ... /Cap_5.pdf
In particolare non capisco come l'operatore $S$, che viene introdotto a partire da pagina 18, che è definito tra $k$-simplessi regolari affini poi agisca tra $k$-simplessi regolari (soliti).
Dunque se qualcuno può chiarirmi come si definisce la suddivisione baricentrica di un $k$-simplesso gliene sarei immensamente grato.
https://www1.mat.uniroma1.it/people/sal ... /Cap_5.pdf
In particolare non capisco come l'operatore $S$, che viene introdotto a partire da pagina 18, che è definito tra $k$-simplessi regolari affini poi agisca tra $k$-simplessi regolari (soliti).
Dunque se qualcuno può chiarirmi come si definisce la suddivisione baricentrica di un $k$-simplesso gliene sarei immensamente grato.
Risposte
Definisci per prima cosa \(S\) su \(\Delta_k\) ottenendo dei simplessi \(\sigma_i \colon \Delta_k \to \Delta_k\) che vai quindi a comporre con ogni simplesso \(\sigma \colon \Delta_k \to X\) del tuo complesso simpliciale per ottenere i cicli finali. È questo il tuo dubbio?
Prima che visualizzassi il tuo messaggio avevo già trovato una soluzione al mio "dubbio", che in realtà era solo un "non aver collegato i pezzi". Questa è la procedura generale.
Ora tu @apatriarca sembri alludere ad una costruzione più esplicita. Chi sono quei $\sigma_i$ ad esempio? Io ho fatto con qualche conto per $k=1$ e già che mi trovo te li espongo.
Per definizione, posto $1_0=\langle P\rangle$, ho $\partial 1_1=1_1\circ j_0-1_1\circ j_1$, dove $j_0(P)=1$ e $j_1(P)=0$. Quindi $S(1_1)=B_1 S(\partial 1_1)=[B_1,1]-[B_1,0]=[0,B_1]+[B_1,0]$[nota]Il fatto che $[B_1,0]=-[0,B_1]$ l'ho dedotto così: $[0,B_1]$ è la restrizione a $\Delta_1$ di \(i\colon t\in RR \mapsto 1-t\in RR\); poiché $i(B_1)=B_1$ e $\partial i=-\partial 1_1$ ottengo l'uguaglianza desiderata[/nota]. Ora
a) $\langle 0,B_1\rangle$ è la restrizione a $\Delta_1$ di $t\in RR \mapsto t/2 \in RR $;
b) $\langle B_1,1\rangle$ è la restrizione a $\Delta_1$ di $t\in RR\mapsto t/2+1/2\in RR$.
Dunque \(S(\sigma)(t)=\sigma(t/2)+\sigma(t/2+1/2)\).
Ti trovi con me? Grazie tante in anticipo.
1) Si dà la definizione per ricorrenza di $S$ tra le $k$-catene affini cosicché in particolare rimane definito $S(1_k)$ per ogni $k\in \N$. Risulta $S(1_0)=1_0$ e, posto \(S(\partial 1_k)=\langle P_0,\dots,P_{k-1}\rangle\), si ha \(S(1_k)=\langle B_k,P_0,\dots,P_{k-1}\rangle\), dove $B$ è il baricentro di $\Delta_k$.
1) Pongo per ogni $k$-simplesso singolare $\sigma$ di $X$, $S(\sigma)=\sigma_\ast S(1_k)$, dove $1_k$ è l'identità di $\Delta_k$.
Ora tu @apatriarca sembri alludere ad una costruzione più esplicita. Chi sono quei $\sigma_i$ ad esempio? Io ho fatto con qualche conto per $k=1$ e già che mi trovo te li espongo.
Per definizione, posto $1_0=\langle P\rangle$, ho $\partial 1_1=1_1\circ j_0-1_1\circ j_1$, dove $j_0(P)=1$ e $j_1(P)=0$. Quindi $S(1_1)=B_1 S(\partial 1_1)=[B_1,1]-[B_1,0]=[0,B_1]+[B_1,0]$[nota]Il fatto che $[B_1,0]=-[0,B_1]$ l'ho dedotto così: $[0,B_1]$ è la restrizione a $\Delta_1$ di \(i\colon t\in RR \mapsto 1-t\in RR\); poiché $i(B_1)=B_1$ e $\partial i=-\partial 1_1$ ottengo l'uguaglianza desiderata[/nota]. Ora
a) $\langle 0,B_1\rangle$ è la restrizione a $\Delta_1$ di $t\in RR \mapsto t/2 \in RR $;
b) $\langle B_1,1\rangle$ è la restrizione a $\Delta_1$ di $t\in RR\mapsto t/2+1/2\in RR$.
Dunque \(S(\sigma)(t)=\sigma(t/2)+\sigma(t/2+1/2)\).
Ti trovi con me? Grazie tante in anticipo.
La mia costruzione era in effetti più esplicita. Invece di definire le mappe a partire dalle loro proprietà partivo dalla suddivisione baricentrica di un simplesso affine (e in particolare dei simplessi standard) per poi passare al caso generale.
L'idea della suddivisione baricentrica in questo caso è quella di creare una partizione di un \(k-\)simplesso affine (in particolare di \(\Delta_k\)) in \((k+1)!\) \(k-\)simplessi affini (i \(\sigma_i\) di cui parlavo nel mio precedente post).
Procedo in modo induttivo. Per uno \(0-\)simplesso affine la sua suddivisione baricentrica è costituita dal punto stesso. Consideriamo quindi un \(k-\)simplesso \(\sigma\) e supponiamo di essere in grado di costruire la suddivisione baricentrica delle sue facce \((k-1)-\)dimensionali. Per ogni faccia e ogni \((k-1)-\)simplesso \(\tau\) della sua suddivisione baricentrica costruiamo quindi un nuovo \(k-\)simplesso come il cono su \(\tau\) con vertice il baricentro \(B\) di \(\sigma\). Il cono è costruito in pratica aggiungendo il vertice \(B\) ai vertici di \(\tau\).
A questo punto abbiamo definito un insieme di \(k-\)simplessi \(\sigma_i \colon \Delta_k \to \Delta_k\) per ogni \(\Delta_k\). Dato un \(k-\)simplesso qualsiasi \(\sigma \colon \Delta_k \to X\) definiamo quindi la sua suddivisione baricentrica come la catena \( \sum \sigma \circ \sigma_i \) e per le catene facciamo uso della linearità.
L'idea della suddivisione baricentrica in questo caso è quella di creare una partizione di un \(k-\)simplesso affine (in particolare di \(\Delta_k\)) in \((k+1)!\) \(k-\)simplessi affini (i \(\sigma_i\) di cui parlavo nel mio precedente post).
Procedo in modo induttivo. Per uno \(0-\)simplesso affine la sua suddivisione baricentrica è costituita dal punto stesso. Consideriamo quindi un \(k-\)simplesso \(\sigma\) e supponiamo di essere in grado di costruire la suddivisione baricentrica delle sue facce \((k-1)-\)dimensionali. Per ogni faccia e ogni \((k-1)-\)simplesso \(\tau\) della sua suddivisione baricentrica costruiamo quindi un nuovo \(k-\)simplesso come il cono su \(\tau\) con vertice il baricentro \(B\) di \(\sigma\). Il cono è costruito in pratica aggiungendo il vertice \(B\) ai vertici di \(\tau\).
A questo punto abbiamo definito un insieme di \(k-\)simplessi \(\sigma_i \colon \Delta_k \to \Delta_k\) per ogni \(\Delta_k\). Dato un \(k-\)simplesso qualsiasi \(\sigma \colon \Delta_k \to X\) definiamo quindi la sua suddivisione baricentrica come la catena \( \sum \sigma \circ \sigma_i \) e per le catene facciamo uso della linearità.
Il tuo conto è effettivamente corretto comunque. Nel mio precedente post non sono entrato nel dettaglio dell'orientamento ma in pratica si deve tenere conto del segno che viene fuori facendo uso dell'operatore di bordo per cui la formula viene quel \(S\,A = B\,S\,\partial\,A\) scritta a pagina 21.
Ti ringrazio per la conferma e per la spiegazione.
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