Successione esatta per varietà complesse
Salve, c'è qualcuno che può confermare o smentire l'esattezza di questa sequenza di fasci per UNA QUALUNQUE varietà complessa?
La sequenza è $ 0->CC->\mathcal(O)->Omega ^1->0 $ dove $ CC $ è il fascio costante a valori in $ CC $ , $ \mathcal(O) $ è il fascio delle funzioni olomorfe e $ Omega^1 $ è il fascio delle 1-forme olomorfe.
Ovviamente le funzioni sono l'inclusione per $ CC->\mathcal(O) $ e il differenziale esterno per $ \mathcal(O)->Omega ^1 $ .
La sequenza è $ 0->CC->\mathcal(O)->Omega ^1->0 $ dove $ CC $ è il fascio costante a valori in $ CC $ , $ \mathcal(O) $ è il fascio delle funzioni olomorfe e $ Omega^1 $ è il fascio delle 1-forme olomorfe.
Ovviamente le funzioni sono l'inclusione per $ CC->\mathcal(O) $ e il differenziale esterno per $ \mathcal(O)->Omega ^1 $ .
Risposte
Nessuno può aiutarmi?
E' falso: in generale, l'immagine di \(\mathrm{d} : \Omega^1 \to \Omega^2\) sarà non-zero, ti basta prendere una varietà complessa tale per cui \(H^2(\Sigma, \mathbb C)\) (coomologia singolare!) sia non zero. Quindi, tipo, basta $S^2$ (che è una superficie di Riemann bella tranquilla).
L'applicazione $ d:Omega^1->Omega^2 $ di cui parli non è nella mia successione, quindi il suo comportamento è poco rilevante... in pratica ci sarebbe solo da confermare la suriettività di $ d:\mathcal(O) ->Omega^1 $ .
Il punto è proprio che non lo è, l'immagine di d è contenuta nel nucleo della mappa successiva, per definizione di complesso di cocatene.
Ma il nucleo dell'applicazione successiva è proprio $ Omega^1 $ ... (non sto considerando cocatene)
In ogni caso potresti produrre un controesempio se effettivamente l'affermazione è falsa?
In ogni caso potresti produrre un controesempio se effettivamente l'affermazione è falsa?
Ma te l'ho detto, la sfera di Riemann!
Prendi il complesso
$\mathcal{O}=\Omega^{0} \mapsto \Omega^{1} \mapsto \Omega^{2} \mapsto \cdots$
se
$\mathcal{O}=\Omega^{0} \mapsto \Omega^{1}$ fosse suriettiva allora $\Omega^{1} \mapsto \Omega^{2}$ sarebbe il morfismo nullo.
$\mathcal{O}=\Omega^{0} \mapsto \Omega^{1} \mapsto \Omega^{2} \mapsto \cdots$
se
$\mathcal{O}=\Omega^{0} \mapsto \Omega^{1}$ fosse suriettiva allora $\Omega^{1} \mapsto \Omega^{2}$ sarebbe il morfismo nullo.
Forse non riesco a spiegarmi io... la successione di cui state parlando non mi importa, lo spazio $ Omega^2 $ non lo nomino neppure.
In ogni caso come controesempio intendo una 1-forma (sulla sfera di Riemann se in effetti è la varietà per cui non vale) che non è il differenziale esterno di alcuna funzione olomorfa (tutto nella versione locale visto che sto parlando di esattezza con dei fasci).
In ogni caso come controesempio intendo una 1-forma (sulla sfera di Riemann se in effetti è la varietà per cui non vale) che non è il differenziale esterno di alcuna funzione olomorfa (tutto nella versione locale visto che sto parlando di esattezza con dei fasci).
"Pierlu11":
Forse non riesco a spiegarmi io... la successione di cui state parlando non mi importa, lo spazio $ Omega^2 $ non lo nomino neppure.
Non lo nomini, ma non puoi ignorare né che esista, né che la successione di cui parli tu sia un troncamento del complesso di deRham aumentato;
ciò che ti sto dicendo è proprio che la mappa \(\mathcal O \to \Omega^1\) non è epi, perché la sua immagine è contenuta in \(\ker (\Omega^1\to\Omega^2)\). Ti è quindi sufficiente prendere una varietà tale per cui esista una 1-forma che non è chiusa, ed ecco che l'immagine di $d$ deve essere un sottospazio proprio di $\Omega^1$.Forse è la domanda, che non sto/stiamo capendo?
La successione di de Rham non è con le forme olomorfe... comunque proverò a pensare ad un controesempio e quando lo trovo mi convincerò
Qui ho trovato la conferma per le superfici di Riemann (quindi qualche incomprensione c'è stata perché la sfera di Riemann non può essere il controesempio che dicevi).
Ora mi piacerebbe sapere se continua a valere per qualunque varietà complessa...
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Ora mi piacerebbe sapere se continua a valere per qualunque varietà complessa...
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