Successione di spazi non equivalenti, con omotopia controllata
Sia \(\{G_n\mid n\in\mathbb N_{\ge 1}\}\) un insieme di gruppi abeliani indicizzato dai numeri interi positivi.
Esiste una successione di spazi topologici \(\mathcal X = \{X_n\mid n \in\mathbb N_{\ge 1}\}\) tale che siano soddisfatte contemporaneamente queste due proprietà?
1. \(X_n \not\simeq X_m\) se $n\ne m$;
2. $pi_k(X_n) = G_k$ per ogni \(X_n\in \mathcal X\).
Esiste una successione di spazi topologici \(\mathcal X = \{X_n\mid n \in\mathbb N_{\ge 1}\}\) tale che siano soddisfatte contemporaneamente queste due proprietà?
1. \(X_n \not\simeq X_m\) se $n\ne m$;
2. $pi_k(X_n) = G_k$ per ogni \(X_n\in \mathcal X\).
Risposte
Vado a memoria: utilizzando i CW-complessi, puoi costruire uno spazio topologico \(\displaystyle X\), mediante la sua decomposizione in \(\displaystyle k\)-scheletri tale che \(\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}_{\geq1},\,\pi_n(X)=G_n\) ove \(\displaystyle\{G_n\}\) è una qualsiasi successione di gruppi abeliani, eccezione per \(\displaystyle G_1\) che può essere non abeliano.
Per come poni tu la domanda, io opterei per porla su math.stackexchange; può essere che qualche specialista riesce a risponderti in merito.
P.S.: sono comunque curioso di sapere come va a finire questa "storiella".
Per come poni tu la domanda, io opterei per porla su math.stackexchange; può essere che qualche specialista riesce a risponderti in merito.
P.S.: sono comunque curioso di sapere come va a finire questa "storiella".
"j18eos":
Vado a memoria: utilizzando i CW-complessi, puoi costruire uno spazio topologico \(\displaystyle X\), mediante la sua decomposizione in \(\displaystyle k\)-scheletri tale che \(\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}_{\geq1},\,\pi_n(X)=G_n\) ove \(\displaystyle\{G_n\}\) è una qualsiasi successione di gruppi abeliani, eccezione per \(\displaystyle G_1\) che può essere non abeliano.
Non capisco se è un tentativo di rispondere alla domanda. Comunque, \(X = \prod_{i\in \mathbb N}K(G_i,i)\) soddisfa questa proprietà.
Per come poni tu la domanda, io opterei per porla su math.stackexchange; può essere che qualche specialista riesce a risponderti in merito.Ma no, è un lieve rimaneggiamento di un esercizio d'esame di un corso di topologia, non mi sembra il caso di metterlo su math.SE (tanto più che so come risolverlo, voglio vedere se c'è un modo che a me non è venuto in mente).
Non avevo capìto che fosse un esercizio proposto. 
...inoltre, io con la topologia algebrica non vado d'accordo.
...inoltre, io con la topologia algebrica non vado d'accordo.
"j18eos":
Non avevo capìto che fosse un esercizio proposto.
...inoltre, io con la topologia algebrica non vado d'accordo.
L'esercizio nella sua forma originaria è più semplice, inizia(te) da lì: esiste una successione di spazi $X_n$, a due a due non omeomorfi, e tali che $\pi_1(X_n) = G$ per un fissato $G$?
"fmnq":
[quote="j18eos"]Vado a memoria: utilizzando i CW-complessi, puoi costruire uno spazio topologico \(\displaystyle X\), mediante la sua decomposizione in \(\displaystyle k\)-scheletri tale che \(\displaystyle\forall n\in\mathbb{N}_{\geq1},\,\pi_n(X)=G_n\) ove \(\displaystyle\{G_n\}\) è una qualsiasi successione di gruppi abeliani, eccezione per \(\displaystyle G_1\) che può essere non abeliano.
Non capisco se è un tentativo di rispondere alla domanda. Comunque, \(X = \prod_{i\in \mathbb N}K(G_i,i)\) soddisfa questa proprietà.
Per come poni tu la domanda, io opterei per porla su math.stackexchange; può essere che qualche specialista riesce a risponderti in merito.Ma no, è un lieve rimaneggiamento di un esercizio d'esame di un corso di topologia, non mi sembra il caso di metterlo su math.SE (tanto più che so come risolverlo, voglio vedere se c'è un modo che a me non è venuto in mente).[/quote]
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