Successione convergente in uno spazio topologico
Esibire una successione convergente in $(R^2,A_nat)$, dove $A_nat$ è la topologia naturale di $R^2$ ma non convergente in $R^2,A$, dove $A$ è la topologia avente come base la famiglia costituita da tutte le rette $x=\alpha$ parallele all'asse delle y se $\alpha <=0$ e da tutti i dischi aperti contenuti nel semipiano $x>0$.
Ho verificato che effettivamente la famiglia considerata può essere una base per una topologia. Inoltre ho confrontato gli aperti delle due topologie e sono giunto alla conclusione che le due topologie non sono confrontabili secondo la relazione di finezza (ogni aperto di una topologia deve essere contenuta in un aperto dell'altra). Adesso, dunque devo esibire un esempio di topologia convergente nella naturale ma non in A.
Ho cercato di applicare la definizione di limite di una successione e sono giunto alla conclusione che tali successioni non esistono perchè se prendo una successione che converge nel semipiano positivo dotato di topologia naturale, essa convergerà anche in A, visto che dal punto di vista topologico in questo semipiano queste due topologie sono equivalenti. Se considero invece una successione che converge nel semipiano negativo, riuscirò sempre a trovare un intorno dei punti della successione che li contine , una retta.
Non sono per nulla convinto su come ho risolto questo esercizio; potete darmi qualche dritta anche su come ragionare quando mi trovo dinanzi a questa tipologia di esercizi?
Ho verificato che effettivamente la famiglia considerata può essere una base per una topologia. Inoltre ho confrontato gli aperti delle due topologie e sono giunto alla conclusione che le due topologie non sono confrontabili secondo la relazione di finezza (ogni aperto di una topologia deve essere contenuta in un aperto dell'altra). Adesso, dunque devo esibire un esempio di topologia convergente nella naturale ma non in A.
Ho cercato di applicare la definizione di limite di una successione e sono giunto alla conclusione che tali successioni non esistono perchè se prendo una successione che converge nel semipiano positivo dotato di topologia naturale, essa convergerà anche in A, visto che dal punto di vista topologico in questo semipiano queste due topologie sono equivalenti. Se considero invece una successione che converge nel semipiano negativo, riuscirò sempre a trovare un intorno dei punti della successione che li contine , una retta.
Non sono per nulla convinto su come ho risolto questo esercizio; potete darmi qualche dritta anche su come ragionare quando mi trovo dinanzi a questa tipologia di esercizi?
Risposte
La definizione di limite in uno spazio topologico richiede che, fissato un QUALUNQUE intorno del punto limite, tu riesca a trovare un naturale $N$ tale che da quell'$N$ in poi TUTTI gli $a_n$ siano contenuti nell'intorno fissato.
Forse con questa precisazione ti riuscirà di costruire la successione
.
Paola
Forse con questa precisazione ti riuscirà di costruire la successione
.Paola
Dunque, se ho capito bene, fisso un punto che voglio sia il limite di una successione; prendo un intorno di questo punto (in sostanza posso limitarmi a considerare gli aperti della topologia); scrivo i termini della successione e vedo se si trovano in questo aperto?.
Quindi nel caso in esempio; la mia analisi resta da farsi comunque nel semiasse negativo, visto che comunque nel semiasse positivo la struttura è la stessa; visto che i miei aperti sono le rette parallele all'asse y, prendo come successione ad esempio (-1,n); tale successione non converge nella topologia naturale ma converge nella mia nuova topologia poichè al crescere di n, comunque i punti sono sulla retta x=-1?
Quindi nel caso in esempio; la mia analisi resta da farsi comunque nel semiasse negativo, visto che comunque nel semiasse positivo la struttura è la stessa; visto che i miei aperti sono le rette parallele all'asse y, prendo come successione ad esempio (-1,n); tale successione non converge nella topologia naturale ma converge nella mia nuova topologia poichè al crescere di n, comunque i punti sono sulla retta x=-1?
La successione va sicuramente presa nel semipiano $x<0$, tuttavia l'esercizio chiede che converga nella topologia naturale e non in quella "nuova".
Dai che sei sulla buona strada.
Paola
Dai che sei sulla buona strada.
Paola
Si scusami, ho invertito l'esercizio, in realtà mi chiedeva di fare il contrario; comunque se ho capito nel caso dell'esercizio che ho scritto, basta prendere come successione $(1/n -1,0)$?
Quella converge nella topologia euclidea.
Se l'esercizio è invertito, allora credo tu debba sfruttare il fatto che le rette sono illimitate, mentre i dischi della top. euclidea no, e parallele. Prendiamo ad esempio il punto $(-1,0)$. Ogni suo intorno conterrà almeno la retta $x=-1$.
La successione che avevi detto $a_n= (-1,n)$ va bene allora.
Paola
Se l'esercizio è invertito, allora credo tu debba sfruttare il fatto che le rette sono illimitate, mentre i dischi della top. euclidea no, e parallele. Prendiamo ad esempio il punto $(-1,0)$. Ogni suo intorno conterrà almeno la retta $x=-1$.
La successione che avevi detto $a_n= (-1,n)$ va bene allora.
Paola
Scusa, se hai tempo, per vedere se ho capito, potresti propormi un esercizio di questo tipo?
Perché non provi a fare il contrario intanto? Cioè l'esercizio come avevi proposto all'inizio.
Paola
Paola
$(1^n-2,1)$?
Non è venuto scritto bene.
Paola
Paola
In sostanza nel mio caso mi serve una retta diciamo x=-1 e una successione che assuma sempre gli stessi valori lungo l'asse y (mi sembra più comodo anzichè fare variare anche y) e che abbia come limite -1 come prima componente; in tal modo al crescere di n, io avrò sempre un punto che si avvicina a -1, e dunque una retta che si avvicini a x=-1, ma mai la retta x=-1?:
$(1^n-2,1)$ dovrebbe andar bene?
$(1^n-2,1)$ dovrebbe andar bene?
Scusa ma quella successione non converge mica nella topologia euclidea, è oscillante...
Paola
Paola
Si, scusa, ho modificato
Allora il ragionamento da fare è sempre del tipo che ho esplicitato due post or sono: prendo un punto che so essere il limite di una successione; prendo un intorno nella mia topologia di tale punto limite (non è detto che sia unico) e vedo se al crescere di n questo punto è ancora in questo intorno?
Non ci siamo... Intanto la successione che hai scritto tu è un punto fisso ($1^n =1, \forall n$).
Detto ciò, è sufficiente prendere la successione $a_n=( -1 -1/n , 0)$. Essa converge a $(-1,0)$ nella top. euclidea, ma non converge nell'altra. Infatti, se prendo ad esempio l'intorno $x=-1$ del punto $(-1,0)$, non esiste alcun $N$ per cui si realizza $a_n \in {x=-1} \forall n> N$.
Paola
Detto ciò, è sufficiente prendere la successione $a_n=( -1 -1/n , 0)$. Essa converge a $(-1,0)$ nella top. euclidea, ma non converge nell'altra. Infatti, se prendo ad esempio l'intorno $x=-1$ del punto $(-1,0)$, non esiste alcun $N$ per cui si realizza $a_n \in {x=-1} \forall n> N$.
Paola
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