Submersion su un sottoinsieme di un level set
Ciao,
vi pongo una questione per me non completamente chiara.
Prendiamo \(\displaystyle \mathbb R^n \) e \(\displaystyle \mathbb R^m \), \(\displaystyle n > m \) quali varieta' differenziabili e consideriamo la mappa differenziabile \(\displaystyle f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m \). Consideriamo il level set \(\displaystyle f^{-1} (q) \) , \(\displaystyle q \in f(\mathbb R^n) \) e assumiamo che \(\displaystyle f \) sia submersion solo su un subset del level set (ovvero la mappa differenziale \(\displaystyle Df \) e' suriettiva solo sul subset \(\displaystyle S \subseteq f^{-1} (q) \)).
Sulla base del submersion theorem possiamo ancora concludere che \(\displaystyle S \) e' una sottovarieta' (submanifold) di \(\displaystyle \mathbb R^n \) di dimensione \(\displaystyle n-m \) ?
Direi che la risposta e' negativa.
Vi torna? Grazie
vi pongo una questione per me non completamente chiara.
Prendiamo \(\displaystyle \mathbb R^n \) e \(\displaystyle \mathbb R^m \), \(\displaystyle n > m \) quali varieta' differenziabili e consideriamo la mappa differenziabile \(\displaystyle f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m \). Consideriamo il level set \(\displaystyle f^{-1} (q) \) , \(\displaystyle q \in f(\mathbb R^n) \) e assumiamo che \(\displaystyle f \) sia submersion solo su un subset del level set (ovvero la mappa differenziale \(\displaystyle Df \) e' suriettiva solo sul subset \(\displaystyle S \subseteq f^{-1} (q) \)).
Sulla base del submersion theorem possiamo ancora concludere che \(\displaystyle S \) e' una sottovarieta' (submanifold) di \(\displaystyle \mathbb R^n \) di dimensione \(\displaystyle n-m \) ?
Direi che la risposta e' negativa.
Vi torna? Grazie
Risposte
Qualche idea? grazie
Penso di si, ma ragionare così in astratto su queste cose non è un bene. Meglio proporre un esempio.
Onestamente non mi viene in mente un esempio concreto. La domanda nasce nel contesto delle 'quasilinear DAE' -- (DAE = Differential Algebric Equations) \[\displaystyle A(x)x^{'} = f(x) \] in particolare nel processo di riduzione in cui compare una sequenza di manifold ciascuna ottenuta attraverso l'applicazione del 'submersion theorem' ad un level set
Ho capito. Sono cose che non conosco per niente, purtroppo. Io penso che $S$ sia una sottovarietà, non vedo niente che possa impedirlo. Se proprio ti serve proviamo a fare una dimostrazione. Si tratta di localizzare, usando opportune bump function, in modo da ridursi al caso in cui $S=f^{-1}(q)$.
"dissonance":
Ho capito. Sono cose che non conosco per niente, purtroppo. Io penso che $S$ sia una sottovarietà, non vedo niente che possa impedirlo. Se proprio ti serve proviamo a fare una dimostrazione. Si tratta di localizzare, usando opportune bump function, in modo da ridursi al caso in cui $S=f^{-1}(q)$.
grazie per la disponibilita'. Non ho capito pero' cosa intendi con 'bump function'
Come dicevo non penso si possa applicare direttamente il submersion theorem in quanto a priori non e' detto esista un aperto di \(\displaystyle \mathbb R^n \) in cui \(\displaystyle Df \) e' suriettiva
ps. non ricevo piu' le email di notifica quando viene inviata una risposta al thread. Avete idea del perche' ?
Per le notifiche, vai nella sezione “Questioni tecniche del forum”, cerca lì, da quando c’è stato il passaggio di proprietà ci sono stati spesso problemi come questo e sicuramente se ne é già parlato.
Quanto alle bump function, voglio dire una funzione che vale 1 su un dato compatto e 0 fuori da un dato aperto. Ma non ho francamente riflettuto molto su questa domanda.
Quanto alle bump function, voglio dire una funzione che vale 1 su un dato compatto e 0 fuori da un dato aperto. Ma non ho francamente riflettuto molto su questa domanda.
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