Su \(\text{Aut}(\mathbb R)\) come gruppo topologico

[killing_buddha]

Che cosa si sa della topologia sullo spazio degli omeomorfismi di $RR$ in sé stesso?

[otta96]

Dipende da che topologia ci metti, intendi quella indotta dalla compatta-aperta? Ma il titolo non c'entra molto, mi pare, se vedessi $RR$ come gruppo topologico dovresti prendere gli omomorfismi continui, che sono solamente le funzioni lineari, a quel punto penso si avrebbe un omeomorfismo tra $RR$ e lo spazio che hai considerato mandando un elemento nella moltiplicazione per quell'elemento.

[killing_buddha]

Sì, pensavo alla compatta-aperta.

[otta96]

Direi che è metrizzabile e ha 2 componenti connesse che sono connesse anche per archi che sono le funzioni crescenti e quelle decrescenti.

[killing_buddha]

Bene, questo è vero perché ogni automorfismo di $RR$ è monotono oppure (disgiuntivamente) antitono. Ora, stai dicendo che ogni coppia di funzioni dello stesso tipo di monotonìa, esse sono connesse da un cammino continuo. Queste componenti sono anche semplicemente connesse, o più connesse ancora?

[otta96]

Direi che viste come sottoinsiemi dello spazio vettoriale delle funzioni continue da $RR$ in $RR$ (lo chiamo $X$), ognuna delle componenti sia convessa, perché, sia $A$ una componente, allora $(A,+)$ è un sottosemigruppo di $(X,+)$, ovvero $f,g\inA=>f+g\inA$; poi è un cono (indipendentemente da quale componente sto considerando), nel senso che $f\inA<=>tf\inA,AAt>0$ e date $f,g\inA$ si ha che $tf+(1-t)g$ è tutto incluso in $A$ per i motivi appena detti.
Quindi è contraibile, in particolare semplicemente connesso, non saprei come potrebbe essere "ancora più connesso di così" sinceramente.

[killing_buddha]

Ok, anche questo mi convince: l'unica cosa, la somma di omeomorfismi monotoni è ancora un omeomorfismo?

[otta96]

Se hanno lo stesso tipo di monotonìa si.

[killing_buddha]

Sarebbe bello vederlo dimostrato quindi in sintesi, le componenti connesse di $Aut(RR)$ sono contraibili; che delusione, speravo fosse un oggetto interessante.