Studio sottospazio:
Ciao... stavo facendo qualche esercizio sui sottospazi e mi ritrovo questo caso :
uno dei miei sottospazi è formato solo da questa equazione caratteristica : x-2y=0
come procedo x trovarmi una base?
mica lo esplicito come vettore dei suoi coefficienti numerici ossia ( 1,2,0,0) ?? grazie
uno dei miei sottospazi è formato solo da questa equazione caratteristica : x-2y=0
come procedo x trovarmi una base?
mica lo esplicito come vettore dei suoi coefficienti numerici ossia ( 1,2,0,0) ?? grazie
Risposte
no, anche perché se fosse così il tuo sottospazio avrebbe dimensione uno, mentre è noto che $k$ equazioni linearmente indipendenti ti forniscono un sottospazio di dimensione $n-k$.
Inoltre suppongo che il tuo sottospazio sia in $RR^4$ anche se non lo hai specificato. I vettori che stanno in quel sottospazio hanno come caratteristica che la componente $x$ del vettore è uguale al doppio della componente y.
Prendiamo il più generico possibile di questi vettori:
$v = (2a, a, b, c)$
Questo vettore si trova sicuramente nel sottospazio. Come si scompone in una base del sottospazio?
Inoltre suppongo che il tuo sottospazio sia in $RR^4$ anche se non lo hai specificato. I vettori che stanno in quel sottospazio hanno come caratteristica che la componente $x$ del vettore è uguale al doppio della componente y.
Prendiamo il più generico possibile di questi vettori:
$v = (2a, a, b, c)$
Questo vettore si trova sicuramente nel sottospazio. Come si scompone in una base del sottospazio?
Si sono in RR^4
Concordo sul fatto che la dimensione del mio sottospazio è 3 e non 1 ...
come ci sei arrivato a v = (a, 2a , b, c )?
per scomporlo dovrei dare i valori della base canonica? oppure valori "a caso" ?
oppure viene : (1,2,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) ?
grazie
Concordo sul fatto che la dimensione del mio sottospazio è 3 e non 1 ...
come ci sei arrivato a v = (a, 2a , b, c )?
per scomporlo dovrei dare i valori della base canonica? oppure valori "a caso" ?
oppure viene : (1,2,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1) ?
grazie
Zkeggia ho letto questo post ed ho una domanda da farti:
se porto l'equazione in forma parametrica esplicitanto x:
${ ( x=2t ),( y=t ):}$
Qualsiasi valore do al parametro t, la x è sempre il doppio quindi una mia base non può essere per esempio:
$(2,1)$ ?
Come hai fatto a sapere che siamo in $r^4$? grazie per l'aiuto!
se porto l'equazione in forma parametrica esplicitanto x:
${ ( x=2t ),( y=t ):}$
Qualsiasi valore do al parametro t, la x è sempre il doppio quindi una mia base non può essere per esempio:
$(2,1)$ ?
Come hai fatto a sapere che siamo in $r^4$? grazie per l'aiuto!
@ 3lyy
(Ho sbagliato a fare il conto, in realtà il vettore generico è $((2a),(a),(b),(c))$, modifico il post)
Semplicissimo. Prendi un vettore generico:
$((x),(y),(z),(t))$
Per quali valori delle variabili il vettore rispetta l'equazione caratteristica?
beh se $x - 2y = 0$ si deve necessariamente avere $x = 2y$
Ci sono altre condizioni? no, quindi il vettore generico del sottospazio sarà:
$((2y),(y),(z),(t))$
A questo punto noti che:
$((2y),(y),(z),(t)) = y*((2),(1),(0),(0)) + z* ((0),(0),(1),(0)) + t* ((0),(0),(0),(1))$
quindi i vettori:
$((2),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)), ((0),(0),(0),(1))$ sono una base del sottospazio.
Semplicemente separi le componenti.
Vediamo se hai capito, quale sarà la base del sottospazio contenente il generico vettore:
$((x),(x-y),(x+y),(0))$
@m4551
dipende dallo spazio in cui ti trovi. Che senso ha il vettore $(2,1)$ in $RR^3$ ?
Nessuno.
Se ho una condizione parametrica qualsiasi valore darò a t avrò che $x = 2y$. Questa è una condizione. Significa che tutti i vettori del sottospazio avranno $x=2y$. Questo significa che solo il vettore $(2y,y,0,0)$ sta nel sottospazio? NO! per esempio anche il vettore $(0,0,2,3)$ soddisfa le condizioni volute dal sistema. Qualsiasi condizione leghi x ad y ci dice che tutti gli altri parametri (per esempio z e t) sono completamente liberi e indipendenti.
Ho dedotto che siamo in $RR^4$ dal fatto che dopo aver scritto il sistema ha riportato come soluzione il vettore $(1,2,0,0)$
(Ho sbagliato a fare il conto, in realtà il vettore generico è $((2a),(a),(b),(c))$, modifico il post)
Semplicissimo. Prendi un vettore generico:
$((x),(y),(z),(t))$
Per quali valori delle variabili il vettore rispetta l'equazione caratteristica?
beh se $x - 2y = 0$ si deve necessariamente avere $x = 2y$
Ci sono altre condizioni? no, quindi il vettore generico del sottospazio sarà:
$((2y),(y),(z),(t))$
A questo punto noti che:
$((2y),(y),(z),(t)) = y*((2),(1),(0),(0)) + z* ((0),(0),(1),(0)) + t* ((0),(0),(0),(1))$
quindi i vettori:
$((2),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)), ((0),(0),(0),(1))$ sono una base del sottospazio.
Semplicemente separi le componenti.
Vediamo se hai capito, quale sarà la base del sottospazio contenente il generico vettore:
$((x),(x-y),(x+y),(0))$
@m4551
dipende dallo spazio in cui ti trovi. Che senso ha il vettore $(2,1)$ in $RR^3$ ?
Nessuno.
Se ho una condizione parametrica qualsiasi valore darò a t avrò che $x = 2y$. Questa è una condizione. Significa che tutti i vettori del sottospazio avranno $x=2y$. Questo significa che solo il vettore $(2y,y,0,0)$ sta nel sottospazio? NO! per esempio anche il vettore $(0,0,2,3)$ soddisfa le condizioni volute dal sistema. Qualsiasi condizione leghi x ad y ci dice che tutti gli altri parametri (per esempio z e t) sono completamente liberi e indipendenti.
Ho dedotto che siamo in $RR^4$ dal fatto che dopo aver scritto il sistema ha riportato come soluzione il vettore $(1,2,0,0)$
Inoltre ad entrambi consiglio di guardare le dispense fatte da Sergio. Sono chiarissime, semplici e piene di esercizi svolti e trucchetti che tornano molto comodi. https://www.matematicamente.it/forum/alg ... 45434.html
Zkeggia...grazie dell'aiuto
dovrebbe essere : (1,1,1,0) (0,-1,1,0) (0,0,0,0) giusto???
mi chiedo e se il mio sottospazio è formato da 2 equazioni caratteristiche...come diventa la base? ad esempio :
2x+y+z-w+3t = x-y-2z-t =0 ????
dovrebbe essere : (1,1,1,0) (0,-1,1,0) (0,0,0,0) giusto???
mi chiedo e se il mio sottospazio è formato da 2 equazioni caratteristiche...come diventa la base? ad esempio :
2x+y+z-w+3t = x-y-2z-t =0 ????
"m4551":
Zkeggia ho letto questo post ed ho una domanda da farti:
se porto l'equazione in forma parametrica esplicitanto x:
${ ( x=2t ),( y=t ):}$
Qualsiasi valore do al parametro t, la x è sempre il doppio quindi una mia base non può essere per esempio:
$(2,1)$ ?
Come hai fatto a sapere che siamo in $r^4$? grazie per l'aiuto!
siamo in $r^4$ perchè abbiamo un vettore formato da 4 numeri reali...
invece se fossimo in $r^3$ allora il vettore aveva 3 componenti reali!
"3lyy":
Zkeggia...grazie dell'aiuto
dovrebbe essere : (1,1,1,0) (0,-1,1,0) (0,0,0,0) giusto???
mi chiedo e se il mio sottospazio è formato da 2 equazioni caratteristiche...come diventa la base? ad esempio :
2x+y+z-w+3t = x-y-2z-t =0 ????
Please, usiamo la sintassi per le formule, grazie.
Siamo in $RR^5$, immagino, e tu hai $W={\barx in RR^5 " t.c. " 2x+y+z-w+3t = x-y-2z-t =0}.
Vuoi determinare base e dimensione di $W$.
Prova a risolvere questo sistema lineare omogeneo: ${(2x+y+z-w+3t =0), (x-y-2z-t =0):}$: sei capace? Da quanti parametri liberi dipendono le soluzioni?
"Paolo90":
[quote="3lyy"]Zkeggia...grazie dell'aiuto
dovrebbe essere : (1,1,1,0) (0,-1,1,0) (0,0,0,0) giusto???
mi chiedo e se il mio sottospazio è formato da 2 equazioni caratteristiche...come diventa la base? ad esempio :
2x+y+z-w+3t = x-y-2z-t =0 ????
Please, usiamo la sintassi per le formule, grazie.
Siamo in $RR^5$, immagino, e tu hai $W={\barx in RR^5 " t.c. " 2x+y+z-w+3t = x-y-2z-t =0}.
Vuoi determinare base e dimensione di $W$.
Prova a risolvere questo sistema lineare omogeneo: ${(2x+y+z-w+3t =0), (x-y-2z-t =0):}$: sei capace? Da quanti parametri liberi dipendono le soluzioni?
[/quote]ok...per quanto riguarda le formule..
si si che sono capace...
Lo risolvo con l'eliminazione di gauss...dipendono da 4 parametri liberi giusto? oppure 3?
"3lyy":
Lo risolvo con l'eliminazione di gauss...dipendono da 4 parametri liberi giusto? oppure 3?
Ah non lo so
Dimmelo tu.
Dai risolvi con Gauss quel sistema e posta un po' di conti.
"Paolo90":
[quote="3lyy"]
Lo risolvo con l'eliminazione di gauss...dipendono da 4 parametri liberi giusto? oppure 3?
Ah non lo so
Dimmelo tu.
Dai risolvi con Gauss quel sistema e posta un po' di conti.
[/quote]
non ti sembra un po' troppo lungo il procedimento con Gauss??
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