Studio sistema lineare
Si studi, al variare del parametro h appartentente ad R, la risolubilità del seguente sistema lineare, nelle
incognite (x; y; z; t):
$x + 2y + z + t = 4$
$x + t = 2$
$hx + (h-1)y + t = 2$
$x + (h + 3)y + z + (h + 2)t = 8$
Manca la graffa di sistema perchè nn so come si fà.Io mi trovo che per $h≠1$ e $h≠-1$ il sistema è di Cramer.
In particolare per $h=1$ il sistema è compatibile ed ha due parametri liberi,mentre per $h=-1$ il sistema è compatibile ed ammette un'unica soluzione?
ho fatto bene.Perchè in genere per risolverli mi calcolo prima il det della matrice incompleta,vedo per quali valori è diverso da zero(quando il det è diverso da zero il sistema è di Cramer, o sbaglio?), poi vedo quando invece il det è uguale a zero cosa succede, è giusto?
Vi ringrazio anticipatamente
incognite (x; y; z; t):
$x + 2y + z + t = 4$
$x + t = 2$
$hx + (h-1)y + t = 2$
$x + (h + 3)y + z + (h + 2)t = 8$
Manca la graffa di sistema perchè nn so come si fà.Io mi trovo che per $h≠1$ e $h≠-1$ il sistema è di Cramer.
In particolare per $h=1$ il sistema è compatibile ed ha due parametri liberi,mentre per $h=-1$ il sistema è compatibile ed ammette un'unica soluzione?
ho fatto bene.Perchè in genere per risolverli mi calcolo prima il det della matrice incompleta,vedo per quali valori è diverso da zero(quando il det è diverso da zero il sistema è di Cramer, o sbaglio?), poi vedo quando invece il det è uguale a zero cosa succede, è giusto?
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Vedo se ho capito quello che hai fatto
Hai calcolato il determinante della matrice incompleta e lo hai posto = 0
Per i valori di h che rendono il determinante $!=0$ il sistema risulta compatibile determinato quindi con un'unica soluzione.
Invece per i valori di h che rendono il determinante $=0$ bisogna studiare il sistema sostituendo i valori trovati. In questo caso il sistema non può essere determinato, o è compatibile indeterminato, con una o più variabili libere, o è incompatibile.
Hai calcolato il determinante della matrice incompleta e lo hai posto = 0
Per i valori di h che rendono il determinante $!=0$ il sistema risulta compatibile determinato quindi con un'unica soluzione.
Invece per i valori di h che rendono il determinante $=0$ bisogna studiare il sistema sostituendo i valori trovati. In questo caso il sistema non può essere determinato, o è compatibile indeterminato, con una o più variabili libere, o è incompatibile.
sisi è questo il ragionamento.Solo vorrei sapere se ho fatto bene o no:D
Per h=1 il rango della matrice completa e quello della incompleta coincidono e valgono 3, quindi il sistema è compatibile indetrminato con $oo^1$ soluzioni
Per h=-1 il rango della matrice incompleta vale 3 e quello della completa vale 4, quindi il sistema è incompatibile
Per h=-1 il rango della matrice incompleta vale 3 e quello della completa vale 4, quindi il sistema è incompatibile
"amelia":
Per h=1 il rango della matrice completa e quello della incompleta coincidono e valgono 3, quindi il sistema è compatibile indetrminato con $oo^1$ soluzioni
Per h=-1 il rango della matrice incompleta vale 3 e quello della completa vale 4, quindi il sistema è incompatibile
Ho ripetuto l'esercizio mi trovo con te anche se mi esce un caso in più,ovvero mi trovo che il det è diverso da zero anche per $h≠0$,ed in particolare quando $h=0$ il sistema è compatibile determinato.Ho sbagliato?
"darinter":
Ho ripetuto l'esercizio mi trovo con te anche se mi esce un caso in più,ovvero mi trovo che il det è diverso da zero anche per $h≠0$,ed in particolare quando $h=0$ il sistema è compatibile determinato.Ho sbagliato?
Per h=0 mi trovo col tuo ragionamento. Perché detA è diverso da zero e viene -2. Siccome "condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema lineare sia consistente e la soluzione sia unica è che $detA!=0$". Infatti hai che $rank(A)=rank(A|b)=4$ (ranghi uguali -> sistema consistente; rank=ordine della matrice A -> soluzione unica, sistema determinato).
Ed è chiaro che il discorso vale per ogni altro $h!=0$.
Allora riassumendo: imponendo che det=0 calcoli i valori di h per cui di sicuro il sistema non è determinato. Ed ottieni 2 casi: $h=1$ e $h=-1$.
il primo è compatibile il secondo no.
Ora, avendo analizzato il caso in cui il detA=0 è chiaro che in tutti gli altri casi (ossia per tutti i restanti valori di h, e quindi "per ogni h, tranne $h=+-1$") il determinante è diverso da zero, il sistema è compatibile e la soluzione è unica. Quindi $h!=0$ e $h=0$ sono 2 casi che rientrano nello stesso insieme di soluzioni... non so se hai capito che voglio dire
Allora riassumendo: imponendo che det=0 calcoli i valori di h per cui di sicuro il sistema non è determinato. Ed ottieni 2 casi: $h=1$ e $h=-1$.
il primo è compatibile il secondo no.
Ora, avendo analizzato il caso in cui il detA=0 è chiaro che in tutti gli altri casi (ossia per tutti i restanti valori di h, e quindi "per ogni h, tranne $h=+-1$") il determinante è diverso da zero, il sistema è compatibile e la soluzione è unica. Quindi $h!=0$ e $h=0$ sono 2 casi che rientrano nello stesso insieme di soluzioni... non so se hai capito che voglio dire
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