Studio nucleo e immagine di funzione lineare

[Zurzaza]

Salve, parto subito bene sul forum con una richiesta di "aiuto" (più che aiuto, è una richiesta per capire se i miei ragionamenti sono giusti, dal momento che ho l'esame di g&a a breve e voglio fare più esercizi possibili).

Esercizio:
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} \) la funzione lineare così definita:
\(\displaystyle f(x,y,z)=(x+y+z,2x-y+z,3x+kz) \) con k numero reale.
a) Trovare (una) base e la dimensione di Nf (Nucleo) e di If (Immagine)
b) Discutere l'iniettività e suriettività di f
c) Trovare il rango della matrice A associata ad f

Dalla definizione di nucleo e di immagine si ricava che:
\(\displaystyle Nf=\{(x,y,z):\begin{cases} x+y+z=0 \\ 2x-y+z=0 \\ 3x+kz=0 \end{cases} \} \)
\(\displaystyle If=\{(x,y,z):(x+y+z,2x-y+z,3x+kz) \)

Calcolando il rango della matrice incompleta ottengo informazioni sulla dimensione di If e su Nf.

\(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & k \end{pmatrix} \)

Ovviamente il rango di A dipende da k, e facendo i calcoli risulta che:
\(\displaystyle r(a) = 2 \leftrightarrow k= 2 \) e \(\displaystyle r(a) = 3 \leftrightarrow k\neq2 \)

Per il teorema di Rouchè Capelli il sistema ha:
1) \(\displaystyle \infty^{1} \) soluzioni per \(\displaystyle k= 2 \) e
2) \(\displaystyle 1 \) soluzione per \(\displaystyle k\neq 2 \)

Nel caso 1 il sistema diventa:
\(\displaystyle \begin{cases} x+y+z=0 \\ 2x-y+z=0 \end{cases} \) => \(\displaystyle \begin{cases} z=-3y \\ x=2y \end{cases} \) e quindi (2,1,-3) è una base di Nf
Nel secondo la unica soluzione è quella banale quindi Nf = {0}

Quindi:

[*:2qqr6oel]Se \(\displaystyle k=2 \) -> \(\displaystyle Nf=\{0\} \implies dim(Nf)=0 \) e \(\displaystyle If=\{(1,1,1),(2,-1,1),(3,0,2) \} \implies dim(If)=3 \)
Essendo il nucleo composto dal solo 0 posso dire che la funzione è iniettiva e, dato che la dimensione dell'immagine è 3, allora è anche suriettiva.
[/*:m:2qqr6oel]
[*:2qqr6oel]Se \(\displaystyle k\neq2 \) -> \(\displaystyle Nf=\{(2,1,-3)\} \implies dim(Nf)=1 \)e \(\displaystyle If=\{(1,1,1),(2,-1,1)\} \implies dim(If)=2 \)
Le motivazioni precedenti non sono presenti in questo caso e quindi la funzione non è ne iniettiva ne suriettiva[/*:m:2qqr6oel][/list:u:2qqr6oel]
Così ho risolto a e b. Il d penso di averlo risolto implicitamente nello svolgimento poichè la mia matrice A è proprio la matrice associata ad f.

Ringrazio chi avrà la pazienza di confermarmi la giusta (o errata?! ) risoluzione dell'esercizio

[Quinzio]

Si ci siamo.
Tranquillo che vai bene...