Studio funzione - Determinare Isomorfismo
Salve a tutti, vi sarei molto grato se poteste aiutarmi nella risoluzione di questo problema.
Sto svolgendo degli esercizi "guidati" e nello svolgerli mi è capitato questo esercizio che mi chiede di studiare f al variare del parametro h.
Viene dato l'endomorfismo $f: RR^3 \to RR^3$ mediante le assegnazioni:
$\{(f(2,0,1) = (h+2,h-2,h)),(f(0,1,1) = (1,2,3)),(f(2,-1,1) = (5,-2,3)):}$
con $\h$ parametro reale.
Ora dopo essermi ricavato la matrice associata rispetto alla base canonica che è questa:
$((h-1,h-3,4-h),(h-2,h,2-h),(h-3,h-3,6-h))$
Io avrei proceduto col calcolo del rango e il successivo studio, però nella soluzione, viene ricavata questa nuova matrice:
$((3,1,4-h),(0,2,2-h),(3,3,6-h))$
Calcola il determinante che viene $\6h$ per $\h≠0$, ne deduce che è un isomorfismo.
E per $\h=0$ trova una base di $\Imf$ che è $\(1,0,1) (0,0,1)$
Ora io vorrei capire, come ha ricavato quella nuova matrice?
E da quella, come ricava la base di $\Imf$ ?
Scusate se mi sono dilungato troppo e spero di essere stato chiaro nel descrivervi il problema.
Grazie mille per l'eventuale aiuto, davvero
Sto svolgendo degli esercizi "guidati" e nello svolgerli mi è capitato questo esercizio che mi chiede di studiare f al variare del parametro h.
Viene dato l'endomorfismo $f: RR^3 \to RR^3$ mediante le assegnazioni:
$\{(f(2,0,1) = (h+2,h-2,h)),(f(0,1,1) = (1,2,3)),(f(2,-1,1) = (5,-2,3)):}$
con $\h$ parametro reale.
Ora dopo essermi ricavato la matrice associata rispetto alla base canonica che è questa:
$((h-1,h-3,4-h),(h-2,h,2-h),(h-3,h-3,6-h))$
Io avrei proceduto col calcolo del rango e il successivo studio, però nella soluzione, viene ricavata questa nuova matrice:
$((3,1,4-h),(0,2,2-h),(3,3,6-h))$
Calcola il determinante che viene $\6h$ per $\h≠0$, ne deduce che è un isomorfismo.
E per $\h=0$ trova una base di $\Imf$ che è $\(1,0,1) (0,0,1)$
Ora io vorrei capire, come ha ricavato quella nuova matrice?
E da quella, come ricava la base di $\Imf$ ?
Scusate se mi sono dilungato troppo e spero di essere stato chiaro nel descrivervi il problema.
Grazie mille per l'eventuale aiuto, davvero
Risposte
Credo che abbia ricavato quella matrice sostituendo al posto della prima colonna la somma della prima colonna con la terza, e ha fatto la stessa cosa con la seconda colonna con il metodo di Gauss-Jordan, credo. Per la seconda domanda non saprei...
Prima di tutto, ti ringrazio per la risposta
Per il resto, metodo di Gauss-Jordan?
E' strano perchè a lezione non abbiamo trattato questo metodo che io sappia, anche se guardando su internet ho visto che questo metodo dovrebbe far apparire degli zeri sotto alcuni coefficenti, un po' come funziona per la normale riduzione di una matrice per il calcolo del rango.
Qui però non avviene, anche se comunque viene "ridotta" seguendo la tua logica.
Però ancora non capisco perchè faccia questo, e come trova quella base.
In attesa di qualche altra risposta, ti ringrazio ancora
Per il resto, metodo di Gauss-Jordan?
E' strano perchè a lezione non abbiamo trattato questo metodo che io sappia, anche se guardando su internet ho visto che questo metodo dovrebbe far apparire degli zeri sotto alcuni coefficenti, un po' come funziona per la normale riduzione di una matrice per il calcolo del rango.
Qui però non avviene, anche se comunque viene "ridotta" seguendo la tua logica.
Però ancora non capisco perchè faccia questo, e come trova quella base.
In attesa di qualche altra risposta, ti ringrazio ancora
credo che lo faccia per calcolare il rango al variare di h, ponendo il determinante uguale a 0 facendo quelle somme. Infatti se \(h=0 \) il rango si riduce a due, altrimenti il rango della matrice è 3. Ma lo sai per ipotesi che h diverso da zero? E sei sicuro che è per h diverso da zero che hai quella base?
Si, perdonami ho scritto male :/
Per h = 0 trova la base citata, ho modificato.
Però non capisco perchè applichi quel procedimento di riduzione, e più che altro non ho capito bene come lo applica.
Cioè, non capisco la "regola" con cui lo applica.
Questo procedimento di riduzione è applicabile a qualsiasi matrice?
Grazie ancora e scusa per la svista.
Per h = 0 trova la base citata, ho modificato.
Però non capisco perchè applichi quel procedimento di riduzione, e più che altro non ho capito bene come lo applica.
Cioè, non capisco la "regola" con cui lo applica.
Questo procedimento di riduzione è applicabile a qualsiasi matrice?
Grazie ancora e scusa per la svista.
Il procedimento per cui puoi sostituire una colonna con una combinazione lineare dellealtre lo puoi usare quando hai \(|A|=0 \). Di solito il procedimento viene usato per risolvere i sistemi lineari, come dice wikipedia per l'appunto. Come supposizione (non ne sono sicuro), qua puoi usarlo proprio perchè tu poni il determinante uguale a 0 per calcolare il rango e perchè se hai una matrice quadrata e sostituisci ad una sua colonna una combinazione lineare delle colonne il determinante della nuova matrice sarà 0. Prendile con le pinze queste ultime frasi, poichè non sono un esperto della materia (c'ho l'esame tra un pò XD). Per la base di $Imf$ non lo so proprio, mi trovo che ha dimensione due, ma non so verificare quali sono i vettori.
Hmm, anche io a breve ho l'esame :/
Ripeto, io di solito procedo riducendo la matrice e calcolando il rango, ma effettivamente in questo caso, ridurre la matrice può venire un po' più complesso.
E guarda caso lui se lo risolve con questo metodo, da me mai trattato xD
Tu questo esercizio come lo avresti svolto?
Ripeto, io di solito procedo riducendo la matrice e calcolando il rango, ma effettivamente in questo caso, ridurre la matrice può venire un po' più complesso.
E guarda caso lui se lo risolve con questo metodo, da me mai trattato xD
Tu questo esercizio come lo avresti svolto?
Avrei calcolato il rango, usando il teorema degli orlati. Poi avrei analizzato i vari valori di h per cui accadono determinate situazioni, in questo caso h=0. In verità io non capisco come gli viene quella base. Perchè se la base è quella, non può generare $(-1,-2,-3)$, poichè entrambi i vettori della base hanno 0 per seconda componente, ma $(-1,-2,-3)$ sappiamo che è l'immagine di un vettore, quindi appartiene a $Imf$. Quindi non sono molto convinto di quella base XD
Ok, ho parlato con un mio collega, ed effettivamente c'è un errore nel testo, però stavolta non a causa mia D:
La base dovrebbe essere questa (1,0,1)(0,1,1), anche se effettivamente il testo riporta 0 nella seconda componente.
Il modo in cui tu l'avresti svolto è lo stesso del mio, però io di solito per trovare i vettori della base, procedo vedendo in quale colonne vi sono gli elementi speciali,quelli che di solito si usano per il calcolo del rango e da li mi ricavo le componenti.
Il fatto è che in questo caso non saprei come calcolarli :/
La base dovrebbe essere questa (1,0,1)(0,1,1), anche se effettivamente il testo riporta 0 nella seconda componente.
Il modo in cui tu l'avresti svolto è lo stesso del mio, però io di solito per trovare i vettori della base, procedo vedendo in quale colonne vi sono gli elementi speciali,quelli che di solito si usano per il calcolo del rango e da li mi ricavo le componenti.
Il fatto è che in questo caso non saprei come calcolarli :/
Non so cosa intendi per elementi speciali XD. Però non ho idee (sicure) di come calcolare la base dell'immagine. Casomai chiedi al tuo collega come ha fatto e poi fammi sapere perchè sono curioso 
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