Studio di un'applicazione lineare
Salve a tutti ragazzi, so che probabilmente dovrei proporre un mio svolgimento dell'esercizio, ma è il primo del genere in cui mi imbatto, mi piacerebbe avere lo svolgimento in modo da affrontare tutti gli esercizi di questo genere, ho l'esame tra pochi giorni, ve ne sarei davvero tanto grato. Grazie mille!
Risposte
ciao,
1). la definizione di matrice associata ad una applicazione lineare è la matrice che ha come colonne le immagini degli elementi della base canonica.
2.) è un isomorfismo se è biettiva... ossia sia iniettiva che suriettiva.
Sfrutta quindi il fatto che questa applicazione è iniettiva se $ker\phi = 0$ e suriettiva se $Im \phi = R^3$.
3.) sostituisci il valore $t=-3$ e procedi nella risoluzione del sistema lineare per ottenere il $ker\phi$
4.)calcolo degli autovalori. Imposti la relazione $det(A-xI)=0$ e tramite le condizioni di diagonalizzabilità distingui vari casi.
5.) analogamente a prima, basta sostituire t=-3
1). la definizione di matrice associata ad una applicazione lineare è la matrice che ha come colonne le immagini degli elementi della base canonica.
2.) è un isomorfismo se è biettiva... ossia sia iniettiva che suriettiva.
Sfrutta quindi il fatto che questa applicazione è iniettiva se $ker\phi = 0$ e suriettiva se $Im \phi = R^3$.
3.) sostituisci il valore $t=-3$ e procedi nella risoluzione del sistema lineare per ottenere il $ker\phi$
4.)calcolo degli autovalori. Imposti la relazione $det(A-xI)=0$ e tramite le condizioni di diagonalizzabilità distingui vari casi.
5.) analogamente a prima, basta sostituire t=-3
Per verificare che è un isomorfismo, è sbagliato calcolare il determinante e porlo diverso da 0 ?
1.)
io verificherei per quali valori di $t$ il $ker$ della tua applicazione è il vettore nullo!
e per quali valori l'immagine è $R^3$
per quel che riguarda il metodo da te proposto:
$dim(Imf)=3 <=> det(A) !=0 $ , e ovviamente per la formula delle dimensioni sappiamo che quindi il $ker$ è banale, e pertanto è sia iniettiva che suriettiva
io verificherei per quali valori di $t$ il $ker$ della tua applicazione è il vettore nullo!
e per quali valori l'immagine è $R^3$
per quel che riguarda il metodo da te proposto:
$dim(Imf)=3 <=> det(A) !=0 $ , e ovviamente per la formula delle dimensioni sappiamo che quindi il $ker$ è banale, e pertanto è sia iniettiva che suriettiva
gli autovalori sono:
$\lambda_{1}=-5, \lambda_{2}=4,\lambda_{3}=0$ e gli autospazi relativi sono:
$ <((-9),(9),(2)),((0),(0),(1)),((8),(12),(1))> $
$\lambda_{1}=-5, \lambda_{2}=4,\lambda_{3}=0$ e gli autospazi relativi sono:
$ <((-9),(9),(2)),((0),(0),(1)),((8),(12),(1))> $
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