Studio di una conica con parametro

[mirko_unifi]

Salve ragazzi,

non riesco a risolvere la seguente conica:

(k+1)x^2 + (2k-2)xy + (2k+1)y^2 - 6x +6y - 4k+7=0

Ho impostato la matrice A= $ ( ( k+1 , k-1 , -3 ),( k-1 , 2k+1 , 3 ),( -3 , 3 , -4k+7 ) ) $

ho trovato come determinate detA= -4k^3-27k^2-80k

Adesso ho iniziato a studiarla ma mi sono accorto che, raccogliendo un k, ho un equazione di secondo grado con discriminante minore di 0.

Qualcuno mi può dare una mano e riguardare se ho sbagliato qualcosa;

Grazie anticipatamente.

[^Tipper^1]

Il determinante è $-k(4k+5)(k+2)$

Svolgimento:

$=(k+1)(-8k^2+14k-4k+7-9)+(k-1)(-9+4k^2-7k-4k+7)-3(3k-3+6k+3)$

Scomponi $(-8k^2+14k-4k+7-9)$, e quindi hai:

$-2(4k-1)(k+1)(k-1)+(k-1)(4k^2-11k-2)-27k$

$(k-1)[-2(4k^2+4k-k-1)+4k^2-11k-2]-27k$

$(k-1)(-8k^2-8k+2k+2+4k^2-11k-2)-27k$

$(k-1)(-4k^2-17k)-27k$

$(k-1)k(-4k-17)-27k$

$k[(k-1)(-4k-17)-27]$

[mirko_unifi]

Avevo fatto un errore di segno nel calcolo del determinate.

Come classificazione mi torna:
-degenere per K=0,-5/4,-2
-parabola per k=-5
-iperbole per -5 -ellisse k>0
-ellisse immaginario k<-5

Grazie per l'aiuto!