Studio di una conica

[Xorik]

Ciao a tutti, vi espongo il mio problema. Allora io ho una conica:
$x^2-4xy+4y^2+2x+6y-3=0$
e devo trasformarla in forma canonica. Quindi:
$I_3=((1,-2,1),(-2,4,3),(1,3,-3))=-25$ Non è degenere
$I_2=((1,-2),(-2,4))=0$ E' una parabola
Da qui cerco gli autovalori i quali sono $0$ e $5$.

1-Domanda: come faccio a dire qual è il risultato senza procedere nei calcoli? Può infatti venire sia $5y^2+2sqrt{5}y=0$ sia $5x^2+2sqrt{y}=0$

Trovo gli autospazi: rispettivamente $(2y,y)$ e $(x,-2x)$
Notmalizzo: $(2/sqrt{5},1/sqrt{5})$ e $(1/sqrt{5},-2/sqrt{5})$
Formo la matrice: $P=((2/sqrt{5},1/sqrt{5}),(1/sqrt{5},-2/sqrt{5}))$
Questa però non va bene perchè il determinante è minore di 0 quindi devo trovare il metodo per farlo diventare maggiore di 0.

Metodo 1: scambio tra loro le colonne di P. Il risultato viene $5x^2+2sqrt{y}=0$
Metodo 2 : cambio di segno solo una colonna di P. Il risultato viene $5y^2+2sqrt{5}y=0$.

2-Domanda: perchè i due risultati sono così diversi?
3-Domanda: Solo nel caso della parabola, quando sostituisco i valori ricavati dalla matrice P nell'equazione iniziale alla fine mi ritrovo questa equazione (faccio l'esempio con il metodo 1) $5x^2-2sqrt{5}x+2sqrt{5}y=3$ in cui devo operare poi il completamento dei quadrati per poi trovare la parabola traslata, quindi:
$(5x^2-2sqrt{5}x+1)+2sqrt{5}y=3+1$
$(sqrt{5}x-1)+2sqrt{5}y=4$
$(sqrt{5}(x-1/sqrt{5}))^2+2sqrt{5}y=4$
$5(x-1/sqrt{5})^2+2sqrt{5}y=4$
$5x^2+2sqrt{5}y=4$
Ed è sbagliato perchè la parabola deve venire 5x^2+2y=0
Dove sbaglio???

[franced]

"Xorik":
$x^2-4xy+4y^2+2x+6y-3=0$

Si tratta di una parabola avente per asse di simmetria la retta $a: y = 1/2*x - 1/2$ e vertice $V(1,0)$.