Studio di una conica
salve a tutti, ho un problema con lo studio di una parabola. Non so per quale motivo ottengo 2 vertici. Sotto vi posto la traccia dell'esercizio e il mio tentativo di soluzione.
Traccia: data la famiglia di coniche $\gamma=kx_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_2x_3=0$ determinare il valore di $k \in R | \gamma$ sia una parabola. Individuare poi l'asse e il vertice della parabola.
Soluzione:
Come prima cosa calcolo la matrice associata a $\gamma$
$A=$ \begin{pmatrix} k & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
$detA=-1\=>\ \gamma$ è sempre non degenere, inoltre
$detA_33=k-1\=>\ \gamma$ è una parabola per $k=1$
Per definizione un asse è una polare la cui direzione risolve l'equazione $a_12l^2-(a_11-a_22)lm-a_12m^2=0$ Da cui si ricavano le soluzioni $m=\pml$ fissato $l=1$ ottengo le direzioni $v_1=(1,1,0) \ v_2=(-1,1,0)$
La parabola tuttavia ha un solo asse, ciò significa che una di queste è la direzione della retta impropria.
una generica polare ha equazione $ \omega(l,m,0)=l(a_11x_1+a_12x_2+a_13x_3)+m(a_12x_1+a_22x_2+a_23x_3)=0$
Quindi $\omega(1,1,0)= x_3=0$ che è la retta impropria
$\omega(-1,1,0)=2x_1-2x_2-x_3=0$ che è l'asse della parabola.
Per ricavare il vertice interseco la conica con l'asse
$V=$ \begin{equation} \begin{cases} 2x_1-2x_2-x_3=0 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_2x_3=0 \end{cases} \end{equation}
Svolgendo i vari calcoli (ho controllato anche con alcuni software come wolfram alpha per vedere se fosse tutto ok) ottengo:
\begin{equation} \begin{cases} x_3=2x_1-2x_2 \\ 5x_1^2+x_2^2-6x_1x_2=0 \end{cases} \end{equation}
$=>$\begin{equation} \begin{cases} x_3=2x_1-2x_2 \\ (x_1-x_2)(5x_1-x_2)=0 \end{cases} \end{equation}
Le due soluzioni sono: \begin{equation} \begin{cases} x_1=x_2 \\ x_3=2x_1-2x_2 \end{cases} \end{equation} oppure \begin{equation} \begin{cases} x_1=(1/5)x_2 \\ x_3=2x_1-2x_2 \end{cases} \end{equation}
Fissato $x_2=1$ ottengo due diversi punti che dovrebbero essere i vertici della parabola, cioè $V_1(1,1,0)$ e $ V_2(1/5,1,-8/5)$
Chiedo il vostro aiuto perché veramente non riesco a capire dove ho sbagliato. Ho ripetuto più volte l'esercizio ed ottengo sempre questo stesso risultato.
Traccia: data la famiglia di coniche $\gamma=kx_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_2x_3=0$ determinare il valore di $k \in R | \gamma$ sia una parabola. Individuare poi l'asse e il vertice della parabola.
Soluzione:
Come prima cosa calcolo la matrice associata a $\gamma$
$A=$ \begin{pmatrix} k & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
$detA=-1\=>\ \gamma$ è sempre non degenere, inoltre
$detA_33=k-1\=>\ \gamma$ è una parabola per $k=1$
Per definizione un asse è una polare la cui direzione risolve l'equazione $a_12l^2-(a_11-a_22)lm-a_12m^2=0$ Da cui si ricavano le soluzioni $m=\pml$ fissato $l=1$ ottengo le direzioni $v_1=(1,1,0) \ v_2=(-1,1,0)$
La parabola tuttavia ha un solo asse, ciò significa che una di queste è la direzione della retta impropria.
una generica polare ha equazione $ \omega(l,m,0)=l(a_11x_1+a_12x_2+a_13x_3)+m(a_12x_1+a_22x_2+a_23x_3)=0$
Quindi $\omega(1,1,0)= x_3=0$ che è la retta impropria
$\omega(-1,1,0)=2x_1-2x_2-x_3=0$ che è l'asse della parabola.
Per ricavare il vertice interseco la conica con l'asse
$V=$ \begin{equation} \begin{cases} 2x_1-2x_2-x_3=0 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1x_2+2x_2x_3=0 \end{cases} \end{equation}
Svolgendo i vari calcoli (ho controllato anche con alcuni software come wolfram alpha per vedere se fosse tutto ok) ottengo:
\begin{equation} \begin{cases} x_3=2x_1-2x_2 \\ 5x_1^2+x_2^2-6x_1x_2=0 \end{cases} \end{equation}
$=>$\begin{equation} \begin{cases} x_3=2x_1-2x_2 \\ (x_1-x_2)(5x_1-x_2)=0 \end{cases} \end{equation}
Le due soluzioni sono: \begin{equation} \begin{cases} x_1=x_2 \\ x_3=2x_1-2x_2 \end{cases} \end{equation} oppure \begin{equation} \begin{cases} x_1=(1/5)x_2 \\ x_3=2x_1-2x_2 \end{cases} \end{equation}
Fissato $x_2=1$ ottengo due diversi punti che dovrebbero essere i vertici della parabola, cioè $V_1(1,1,0)$ e $ V_2(1/5,1,-8/5)$
Chiedo il vostro aiuto perché veramente non riesco a capire dove ho sbagliato. Ho ripetuto più volte l'esercizio ed ottengo sempre questo stesso risultato.
Risposte
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta.
Purtroppo nel mio post ho dimenticato di menzionare che il mio professore non ama il metodo degli invarianti e non vuole che lo usiamo, ergo non l'ho mai studiato. Tuttavia grazie alla guida che mi hai linkato sono riuscito a seguire tutti i ragionamenti. Ho provato a rifare l'esercizio calcolando gli auto valori della matrice $A_33$ per determinare la forma canonica e le equazioni di passaggio di riferimento e mi trovo con la soluzione.
Sono molto contento che la soluzione che ho provato ad adottare inizialmente è giusta, ieri mi sono scervellato per niente... Avevo proprio dimenticato che nelle coordinate omogenee bisogna imporre $x_3\ne 0$ quindi la prima soluzione che avevo trovato in realtà non è accettabile. Resta quindi solo la soluzione $ V_2(1/5,1,-8/5) $, dove alla fine l'unica dissonanza è il fatto che ho imposto $x_2=1$ anziché $x_3$.
Grazie di tutto.
Purtroppo nel mio post ho dimenticato di menzionare che il mio professore non ama il metodo degli invarianti e non vuole che lo usiamo, ergo non l'ho mai studiato. Tuttavia grazie alla guida che mi hai linkato sono riuscito a seguire tutti i ragionamenti. Ho provato a rifare l'esercizio calcolando gli auto valori della matrice $A_33$ per determinare la forma canonica e le equazioni di passaggio di riferimento e mi trovo con la soluzione.
Sono molto contento che la soluzione che ho provato ad adottare inizialmente è giusta, ieri mi sono scervellato per niente... Avevo proprio dimenticato che nelle coordinate omogenee bisogna imporre $x_3\ne 0$ quindi la prima soluzione che avevo trovato in realtà non è accettabile. Resta quindi solo la soluzione $ V_2(1/5,1,-8/5) $, dove alla fine l'unica dissonanza è il fatto che ho imposto $x_2=1$ anziché $x_3$.
Grazie di tutto.
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