Studio di un insieme numerico

[franchinho]

Salve, io ho il seguente insieme numerico: $ X=([-infty;4[nn Z)uu{-n/(n+2):n epsilon N}. $ Io ho cercato di costruire l'insieme finale $X$ graficamente, facendo l'intersezione prima e poi l'unione. Io ho che l'espressione : ${-n/(n+2):n epsilon N}$, sostituendo i valori di $n$, (cioè per $n=0, n=1, n=2, n=3$) genera i corrispondenti valori di $x$, che sono: $0, -1/3, -1/2, - 3/5$. Ed infine sostituendo ad $n$, $+infty$ vedo che l'insieme tende a $-1$. La sua rappresentazione grafica comprende quindi i punti isolati (rappresentati come pallini pieni sulla retta): $0, -1/3, -1/2, - 3/5$, ed altri infiniti punti che vanno ad accumularsi nel $-1$, che è appunto il mio punto d'accumulazione. L'espressione: $]-infty, 4[nn Z$ mi restituisce l'insieme dei numeri relativi interi, dal $4$ escluso verso sinistra, ma il valore $4$ non fa parte di questo insieme (quindi lo disegno con un pallino vuoto). Quindi il mio insieme finale $X=([-infty;4[nn Z)uu{-n/(n+2):n epsilon N}$ sarà formato graficamente dai numeri interi relativi fino al massimo di $4$ escluso (disegnato con pallino vuoto), il punto $-1$ che era di accumulazione (pallino vuoto) diventa pieno, e inoltre ha i valori $-1/3, -1/2, -3/5$. La domanda è: è corretta questa rappresentazione? è corretto dire che un punto di accumulazione (quindi rappresentato con un pallino vuoto, perché non fa parte dell'insieme), (nel nostro caso il $-1$), quando lo si unisce con lo stesso punto appartenente ad un altro insieme (quindi rappresentato con pallino pieno), (nel nostro caso sempre $-1$), smette di essere di accumulazione e diventa un punto appartenente all'insieme finale? è corretto dire che il punto $4$ rimane un punto escluso dall'insieme (pallino vuoto)?

[porzio1]

farei solo un appunto : -1 fa parte dell'insieme ed è punto di accumulazione per l'insieme(le 2 cose non sono in contrasto)

[franchinho]

Quindi posso concludere che quando c'è un insieme con una legge (cioè con legge: ${-n/(n+2): n epsilon N}$, che mi genera un punto d'accumulazione, l'accumulazione rimane sempre anche se interseco o unisco questa legge con altri insiemi, ed eventualmente a cambiare e l'appartenenza o meno?

[franchinho]

Mi potresti aiutare su quest'altro insieme numerico? $X={(1/(n+1))+(-1)^n:n epsilon N}$. Sosituendo i primi 4 valori di $n$ (cioé: per $n=0, n=1, n=2, n=3, n=4$) ottengo i corrispondenti valori di $x$ (cioè: $2, -1/2, 4/3, -3/4, 6/5$. Quando infine sostituisco $+infty$ ho che $1/(n+1)$ tende a $0$ e $(-1)^(+infty)$ è una forma indeterminata, quindi a quanto tende l'insieme? Risolvendo questo passaggio potrei vedere qual è l'accumulazione; nelle risposte dell'esercizio c'è scritto che il $DX={-1;1}$, ma non riesco a capire perché. Grazie.

[porzio1]

per n pari hai una successione di numeri che tende ad 1
per n dispari hai una successione di numeri che tende a -1

[franchinho]

D'accordo, il problema è che quando considero singolarmente il seguente esercizio: $X={(-1)^(n):n epsilon N}$, nelle risposte trovo che l'insieme dei punti d'accumulazione è l'insieme vuoto. Questo insieme non tende a $+- 1$? Quindi la situazione è la seguente: io prima avevo svolto questo esercizio (più semplice) e trovavo che tende a $+ -1$; ma nelle risposte l'insieme dei punti d'accumulazione è vuoto. Poi successivamente ho risolto quello che ho postato per primo, e invece lì l'insieme dei punti d'accumulazione è ${-1,1}$, ma non riesco a capire....

[porzio1]

"Francobati":Questo insieme non tende a ±1?

scusa ,ma questa espressione non ha senso
l'insieme è composto solo da due elementi ,-1 ed 1,che sono ovviamente punti isolati

[franchinho]

Ma come non ha senso, è un esercizio che non mi sono inventato, me lo assegnato il prof. E poi comunque anche se non avesse senso, se io sommo un'espressione che non ha senso, con quest'altra: ${1/(n+1)}$ la quale per $x$ che tende a $+infty$ tende a $0$, non dovrei ottenere 0 come accumulazione, anzichè ${-1,1}$???

[porzio1]

non ci siamo capiti
non ha senso dire "l'insieme tende a $+-1$"
per quanto riguarda l'insieme $X={1/(n+1)+(-1)^n,n in N}$ ,a me sembra evidente che la successione dei termini con gli n dispari tenda a -1 e quella dei termini con gli n pari tenda a 1,visto che $1/(n+1)$ tende a zero

[franchinho]

Ma di questa espressione: ${(-1)^n:n epsilon N}$ qual è l'insieme di accumulazione?

[porzio1]

come già detto,questo insieme è composto solo da 2 elementi : -1 ed 1
quindi,non ha punti di accumulazione

in generale,ogni insieme finito non ha punti di accumulazione