Studio di un endomorfismo dalla matrice associata
Ho un dubbio sulla matrice da associare a un endomorfismo definito dalle assegnazioni.
Per esempio avendo $ f: R^3 -> R^3 $ definito dalle assegnazioni:
$ f(1,1,0) = (1,h,0)
f(0,0,1) = (0,1,h+1)
f(1,0,0) = (2,h,h) $
L'esercizio chiede di studiare l'endomorfismo e determinare Im e Ker.
Devo associare la matrice rispetto alle basi canoniche e quindi trovare f(e1), f(e2) e f(e3) oppure basta scrivere la matrice
$ ( ( 1 , 0 , 2 ),( h , 1 , h ),( 0 , h+1 , h ) ) $
Per esempio avendo $ f: R^3 -> R^3 $ definito dalle assegnazioni:
$ f(1,1,0) = (1,h,0)
f(0,0,1) = (0,1,h+1)
f(1,0,0) = (2,h,h) $
L'esercizio chiede di studiare l'endomorfismo e determinare Im e Ker.
Devo associare la matrice rispetto alle basi canoniche e quindi trovare f(e1), f(e2) e f(e3) oppure basta scrivere la matrice
$ ( ( 1 , 0 , 2 ),( h , 1 , h ),( 0 , h+1 , h ) ) $
Risposte
@godot,
non capisco cosa vuoi di preciso, la consegna dice di "studiare \( f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\) al variare del parametro \( h \in \Bbb{R} \)"? Se si, allora devi calcolare \( \ker(f)\) e \( \text{im}(f)\) (al variare di \( h \)). Se devi associare la matriche ad \( f \), allora devi applicare la definizione di "matrice associata ad una applicazione lineare" scegliendo stessa base di partenza e stessa base di arrivo (in tal caso la canonica è più che buona[nota]anche se non sei obbligato
[/nota])... Potresti essere più preciso..! 
Saluti
P.S.= Se usi la base canonica la matrice associata ad \( f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\) rispetto alla canonica non è quella!! Come ho scritto nelle note non sei obbligato ad usare la base canonica, e se la mente non mi inganna quella che hai per ipotesi è anche base quindi puoi usare anche quella per la matrice associata ma devi comunque mettere in colonna le coordinate di \( f(1,1,0),f(0,0,1),f(1,0,0)\) rispetto alla base \(( (1,1,0),(0,0,1),(1,0,0))\)...
non capisco cosa vuoi di preciso, la consegna dice di "studiare \( f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\) al variare del parametro \( h \in \Bbb{R} \)"? Se si, allora devi calcolare \( \ker(f)\) e \( \text{im}(f)\) (al variare di \( h \)). Se devi associare la matriche ad \( f \), allora devi applicare la definizione di "matrice associata ad una applicazione lineare" scegliendo stessa base di partenza e stessa base di arrivo (in tal caso la canonica è più che buona[nota]anche se non sei obbligato
[/nota])... Potresti essere più preciso..! Saluti
P.S.= Se usi la base canonica la matrice associata ad \( f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\) rispetto alla canonica non è quella!! Come ho scritto nelle note non sei obbligato ad usare la base canonica, e se la mente non mi inganna quella che hai per ipotesi è anche base quindi puoi usare anche quella per la matrice associata ma devi comunque mettere in colonna le coordinate di \( f(1,1,0),f(0,0,1),f(1,0,0)\) rispetto alla base \(( (1,1,0),(0,0,1),(1,0,0))\)...
Siccome \(\displaystyle (0,0,1) = \mathbf{e}_3 \), \(\displaystyle (1,0,0) = \mathbf{e}_1 \) e \(\displaystyle (1,1,0) = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \) hai che:
\(\displaystyle \begin{cases} f\mathbf{e}_1 + f\mathbf{e}_2 &= (1,h,0) \\
f\mathbf{e}_3 &= (0,1,h+1) \\
f\mathbf{e}_2 &= (2,h,h)
\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} f\mathbf{e}_1 &= (1,h,0) - (2, h, h) \\
f\mathbf{e}_3 &= (0,1,h+1) \\
f\mathbf{e}_2 &= (2,h,h)
\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} f\mathbf{e}_1 &= (-1,0,-h) \\
f\mathbf{e}_3 &= (0,1,h+1) \\
f\mathbf{e}_2 &= (2,h,h)
\end{cases} \)
Se non ho sbagliato a fare i calcoli.
\(\displaystyle \begin{cases} f\mathbf{e}_1 + f\mathbf{e}_2 &= (1,h,0) \\
f\mathbf{e}_3 &= (0,1,h+1) \\
f\mathbf{e}_2 &= (2,h,h)
\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} f\mathbf{e}_1 &= (1,h,0) - (2, h, h) \\
f\mathbf{e}_3 &= (0,1,h+1) \\
f\mathbf{e}_2 &= (2,h,h)
\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} f\mathbf{e}_1 &= (-1,0,-h) \\
f\mathbf{e}_3 &= (0,1,h+1) \\
f\mathbf{e}_2 &= (2,h,h)
\end{cases} \)
Se non ho sbagliato a fare i calcoli
.
@godot,
a me viene lo stesso calcolo , ergo la matrice associata (usando la base canonica) è $$ \begin{Vmatrix}
-1& 2 &0 \\
0& h& 1\\
-h& h &h+1
\end{Vmatrix} $$ A te il resto
!
Saluti
"vict85":
Siccome \(\displaystyle (0,0,1) = \mathbf{e}_3 \), \(\displaystyle (1,0,0) = \mathbf{e}_1 \) e \(\displaystyle (1,1,0) = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \) hai che:
\(\displaystyle \begin{cases} f\mathbf{e}_1 + f\mathbf{e}_2 &= (1,h,0) \\
f\mathbf{e}_3 &= (0,1,h+1) \\
f\mathbf{e}_2 &= (2,h,h)
\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} f\mathbf{e}_1 &= (1,h,0) - (2, h, h) \\
f\mathbf{e}_3 &= (0,1,h+1) \\
f\mathbf{e}_2 &= (2,h,h)
\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} f\mathbf{e}_1 &= (-1,0,-h) \\
f\mathbf{e}_3 &= (0,1,h+1) \\
f\mathbf{e}_2 &= (2,h,h)
\end{cases} \)
Se non ho sbagliato a fare i calcoli
a me viene lo stesso calcolo
, ergo la matrice associata (usando la base canonica) è $$ \begin{Vmatrix}-1& 2 &0 \\
0& h& 1\\
-h& h &h+1
\end{Vmatrix} $$ A te il resto
! Saluti
Grazie per le risposte e scusate per essere stato poco chiaro. So che quella non è la matrice associata ad f rispetto la base canonica ma volevo sapere se è possibile scrivere la matrice associata rispetto ad una base A che considero costituita da quei 3 vettori di cui il testo mi dà le funzioni. Ovvero $ A= {(1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)} $ e quindi posso scrivere la matrice associata rispetto ad A così
$ ( ( 1 , 0 , 2 ),( h , 1 , h ),( 0 , h+1 , h ) ) $
Sto dicendo una cosa che non esiste vero?
Sennò ogni volta che ho un endomorfismo devo sempre associarlo rispetto alla base canonica e poi studiare Im e Ker da quella matrice?
$ ( ( 1 , 0 , 2 ),( h , 1 , h ),( 0 , h+1 , h ) ) $
Sto dicendo una cosa che non esiste vero?
Sennò ogni volta che ho un endomorfismo devo sempre associarlo rispetto alla base canonica e poi studiare Im e Ker da quella matrice?
@godot,
se vuoi un consiglio cerca sempre di ricavarti la base canonica dalle ipotesi che hai. Nel tuo caso comunque \( A:=((1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)) \) è anche base per \( \Bbb{R}^3 \) ma nella matrice associata ad \( f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\) devi comunque mettere le seguenti coordinate (rispetto alla base \( A \)):
\( [f( (1,1,0))]_A\)
\( [f( (0,0,1))]_A\)
\( [f( (1,0,0))]_A\)
e come vedi ti complichi la vita e i calcoli[nota]forse non in questo caso, ma in altri sicuramente ti potrebbe capitare[/nota] (cosa che con la base canonica giammai avviene, una volta trovata ovviamente)...
Saluti
"godot":
Grazie per le risposte e scusate per essere stato poco chiaro. So che quella non è la matrice associata ad f rispetto la base canonica ma volevo sapere se è possibile scrivere la matrice associata rispetto ad una base A che considero costituita da quei 3 vettori di cui il testo mi dà le funzioni. Ovvero $ A= {(1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)} $ e quindi posso scrivere la matrice associata rispetto ad A così
$ ( ( 1 , 0 , 2 ),( h , 1 , h ),( 0 , h+1 , h ) ) $
Sto dicendo una cosa che non esiste vero?
Sennò ogni volta che ho un endomorfismo devo sempre associarlo rispetto alla base canonica e poi studiare Im e Ker da quella matrice?
se vuoi un consiglio cerca sempre di ricavarti la base canonica dalle ipotesi che hai. Nel tuo caso comunque \( A:=((1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)) \) è anche base per \( \Bbb{R}^3 \) ma nella matrice associata ad \( f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\) devi comunque mettere le seguenti coordinate (rispetto alla base \( A \)):
\( [f( (1,1,0))]_A\)
\( [f( (0,0,1))]_A\)
\( [f( (1,0,0))]_A\)
e come vedi ti complichi la vita e i calcoli[nota]forse non in questo caso, ma in altri sicuramente ti potrebbe capitare[/nota] (cosa che con la base canonica giammai avviene, una volta trovata ovviamente)...
Saluti
ok ultima cosa e tolgo il disturbo, dici che per comodità e facilità di calcoli conviene ricavare la matrice associata rispetto alla base canonica, ma quella che ho scritto io è giusta o no (rispetto ad A)? Perché se fosse giusta in pratica basterebbe mettere in colonna le immagini dei vettori che mi sono stati dati e risparmio calcoli (deduco quindi che è sbagliata XD).
Al di là delle questioni pratiche arrivo allo stesso risultato no?
Grazie comunque per la disponibilità
Al di là delle questioni pratiche arrivo allo stesso risultato no?
Grazie comunque per la disponibilità
Mi sono appena reso conto di aver detto una grandissima cavolata, scusami 
Prenderò comunque l'abitudine di trovarla rispetto alla base canonica (a meno che non sia esplicitamente richiesto).
Grazie ancora
Prenderò comunque l'abitudine di trovarla rispetto alla base canonica (a meno che non sia esplicitamente richiesto).
Grazie ancora
@godot,
da quanto leggo hai moolta confusione e poche cose chiare... fai le domande e ti rispondi, inoltre in modo contradditorio !!
Non so sei hai letto la pagina di wikipedia o quanto ho scritto.. ma di sicuro la tua matrice iniziale rispetto alla base \( A \) è errata!! Ora dimmi perchè dico che è errata? Vediamo se hai capito!
Saluti
"godot":
ok ultima cosa e tolgo il disturbo, dici che per comodità e facilità di calcoli conviene ricavare la matrice associata rispetto alla base canonica, ma quella che ho scritto io è giusta o no (rispetto ad A)? Perché se fosse giusta in pratica basterebbe mettere in colonna le immagini dei vettori che mi sono stati dati e risparmio calcoli (deduco quindi che è sbagliata XD).
Al di là delle questioni pratiche arrivo allo stesso risultato no?
Grazie comunque per la disponibilità
da quanto leggo hai moolta confusione e poche cose chiare... fai le domande e ti rispondi, inoltre in modo contradditorio
!!Non so sei hai letto la pagina di wikipedia o quanto ho scritto.. ma di sicuro la tua matrice iniziale rispetto alla base \( A \) è errata!! Ora dimmi perchè dico che è errata? Vediamo se hai capito!
Saluti
@godot,
ok.. ti sei reso conto o ti sei fatto convinto, spero solo che lo hai capito!
Saluti
"godot":
Mi sono appena reso conto di aver detto una grandissima cavolata, scusami
Prenderò comunque l'abitudine di trovarla rispetto alla base canonica (a meno che non sia esplicitamente richiesto).
Grazie ancora
ok.. ti sei reso conto o ti sei fatto convinto, spero solo che lo hai capito!
Saluti
Prova del nove la matrice è
$ || ( 1 , h+1 , 2+h ),( 1 , 0 , 2 ),( h , 1 , h ) || $
Dimmi di sì e dormo tranquillo
$ || ( 1 , h+1 , 2+h ),( 1 , 0 , 2 ),( h , 1 , h ) || $
Dimmi di sì e dormo tranquillo
@godot,
scrivi i passaggi e ti saprò dire..
Saluti
"godot":
Prova del nove la matrice è
$ || ( 1 , h+1 , 2+h ),( 1 , 0 , 2 ),( h , 1 , h ) || $
Dimmi di sì e dormo tranquillo
scrivi i passaggi e ti saprò dire..
Saluti
$ { ( f(v1)= 1v1 + hv2= (1,1,h) ),( f(v2)= 1v2 + (h+1)v3=(h+1,0,1) ),( f(v3)=2v1+hv2+hv3=(2+h,2,h) ):} $
@godot,
come sospettavo, chi sono \( v_1,v_2,v_3 \)? Da dove li prendi?
e cmq la matrice associata ad \( f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\) rispetto alla base \( A \) è (sperando di aver fatto bene i calcoli ) $$\begin{Vmatrix} h& 1& h \\ 0& h+1& h\\ 1-h& -1& 2-h \end{Vmatrix}$$ Saluti
"godot":
$ { ( f(v1)= 1v1 + hv2= (1,1,h) ),( f(v2)= 1v2 + (h+1)v3=(h+1,0,1) ),( f(v3)=2v1+hv2+hv3=(2+h,2,h) ):} $
come sospettavo, chi sono \( v_1,v_2,v_3 \)? Da dove li prendi?
e cmq la matrice associata ad \( f \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\) rispetto alla base \( A \) è (sperando di aver fatto bene i calcoli
) $$\begin{Vmatrix} h& 1& h \\ 0& h+1& h\\ 1-h& -1& 2-h \end{Vmatrix}$$ Saluti
Sarebbero i vettori che costituiscono la base... non è così? 
Ho capito domani riprendo questa cosa. Grazie
Ho capito domani riprendo questa cosa. Grazie
@godot,
tranquillo ... ma devi essere più specifico.. ad esempio: quale base? La base \( A \)? La base canonica? Una base generica?
Non so se quello che dici è giusto o meno, solo che non riesco a seguirti e sto cercando di capire..
Saluti
"godot":
Sarebbero i vettori che costituiscono la base... non è così?
Ho capito domani riprendo questa cosa. Grazie
tranquillo
... ma devi essere più specifico.. ad esempio: quale base? La base \( A \)? La base canonica? Una base generica?Non so se quello che dici è giusto o meno, solo che non riesco a seguirti e sto cercando di capire..
Saluti
In genere si parla di matrice associata ad una base, ma in realtà una matrice è associata a due basi: uno per il dominio e uno per il codominio. Semplicemente, nel caso degli endomorfismi lineari, si lavora, in genere, con la stessa base.
Sia \(\displaystyle \mathscr{A} = \{ \mathbf{a}_i\}_{i\in [n]} \) una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) (o equivalentemente di un qualsiasi spazio vettoriale reale di dimensione \(\displaystyle n \)) e \(\displaystyle \mathscr{E} = \{ \mathbf{e}_i\}_{i\in [n]} \) la base canonica. Alternativamente puoi supporre che tu abbia identificato \(\displaystyle V \) con \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) attraverso \(\displaystyle \mathscr{E}\).
A questo punto sia \(\displaystyle f\colon \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n \) una applicazione lineare definita come \(\displaystyle f\colon \mathbf{a}_i\mapsto \mathbf{b}_i \) con \(\displaystyle \mathbf{b}_j = \sum_{i=1}^n \beta_{ij} \mathbf{e}_i \). La matrice associata alle basi \(\displaystyle \mathscr{A} \) e \(\displaystyle \mathscr{E}\) è la matrice \(\displaystyle F_{\mathscr{A}, \mathscr{E}} = [\beta_{ij}] \).
Dato quindi \(\displaystyle \mathbf{a}_j = \sum_{i=1}^n \alpha_{ij} \mathbf{e}_i \) risulta che l'identità \(\displaystyle \mathrm{id}\colon \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n \) data da \(\displaystyle \mathrm{id}\colon \mathbf{a}_i\mapsto \mathbf{a}_i \) possiede matrice \(\displaystyle I_{\mathscr{A}, \mathscr{E}} = [\alpha_{ij}] \).
Dopo questa premessa ti invito a verificare che \(\displaystyle F_{\mathscr{A}, \mathscr{A}} = F_{\mathscr{E}, \mathscr{A}}I^{-1}_{\mathscr{A}, \mathscr{E}} \).
Sia \(\displaystyle \mathscr{A} = \{ \mathbf{a}_i\}_{i\in [n]} \) una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) (o equivalentemente di un qualsiasi spazio vettoriale reale di dimensione \(\displaystyle n \)) e \(\displaystyle \mathscr{E} = \{ \mathbf{e}_i\}_{i\in [n]} \) la base canonica. Alternativamente puoi supporre che tu abbia identificato \(\displaystyle V \) con \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) attraverso \(\displaystyle \mathscr{E}\).
A questo punto sia \(\displaystyle f\colon \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n \) una applicazione lineare definita come \(\displaystyle f\colon \mathbf{a}_i\mapsto \mathbf{b}_i \) con \(\displaystyle \mathbf{b}_j = \sum_{i=1}^n \beta_{ij} \mathbf{e}_i \). La matrice associata alle basi \(\displaystyle \mathscr{A} \) e \(\displaystyle \mathscr{E}\) è la matrice \(\displaystyle F_{\mathscr{A}, \mathscr{E}} = [\beta_{ij}] \).
Dato quindi \(\displaystyle \mathbf{a}_j = \sum_{i=1}^n \alpha_{ij} \mathbf{e}_i \) risulta che l'identità \(\displaystyle \mathrm{id}\colon \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n \) data da \(\displaystyle \mathrm{id}\colon \mathbf{a}_i\mapsto \mathbf{a}_i \) possiede matrice \(\displaystyle I_{\mathscr{A}, \mathscr{E}} = [\alpha_{ij}] \).
Dopo questa premessa ti invito a verificare che \(\displaystyle F_{\mathscr{A}, \mathscr{A}} = F_{\mathscr{E}, \mathscr{A}}I^{-1}_{\mathscr{A}, \mathscr{E}} \).
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