Studio di un endomorfismo

[fed_27]

Salve a tutti sto studiando questo endomorfismo

f(x,y,z) $in R^3 rightarrow (x-y,-x+y,-4z) in R^3$

1)determinare ker f e spazio immagine
per determinare il kerf ho posto
$\{(x-y=0),(-x+y=0),(-4z = 0):}$
mi trovo un sistema con $oo^1$ soluzioni dove un vettore del kerf è dato da (x,x,0) quindi (1,1,0) dunque la dimkerf=1
come trovo i vettori che generano una base dell'immagine che so pero che è di dimensione 2?
2)verificare se f è simmetrico ! si perchè la matrice associata al riferimento naturale è simmetrica
3)la matrice trovata è diagonalizzabile ?
Se è simmetrica è ortogonalmente diagonalizzabile esite quindi un riferimento ortonormale che rende A ortogonale .
In questi problemi trovo sempre difficolta nel determinare l'immagine di f e le sue basi , potete aiutarmi?

[fed_27]

"Sergio":Comincia col trovare la matrice $A$ associata ad $f$ rispetto alla base canonica, cioè una matrice le cui colonne siano le immagini secondo $f$ dei vettori della base canonica.
Poi consideri che l'immagine di $f$ è l'insieme dei prodotti $Av$, per qualsiasi $v$ appartenente al dominio.
Un prodotto $Av$ è una combinazione lineare delle colonne di $A$. La dimensione dell'immagine di $f$ è quindi il numero di colonne linearmente indipendenti di $A$. Già sai che, essendo $1$ la dimensione del kernel, la dimensione dell'immagine è $2$. Per trovare una base, basta che prendi due colonne linearmente indipendenti di $A$.
In pratica, trasponi $A$, la riduci a gradini per righe e prendi le due righe non nulle.

$((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,-4))$
elimino una colonna dipendente dall'altra

$((1,0),(1,0),(0,-4))$
faccio la trasposta
$((0,0,-4),(1,-1,0))$
quidi una base è
(0,0,-4) e(1,-1,0) almeno credo

e volevo sapere procedo cosi anche per esercizi di questo tipohttp://www.matematicamente.it/forum/esercizi-di-geometria-t36142.html#273024 anche se noto che avevo sbagliato qualcosa

[franced]

"Sergio":
...
Per trovare una base, basta che prendi due colonne linearmente indipendenti di $A$.
In pratica, trasponi $A$, la riduci a gradini per righe e prendi le due righe non nulle
...

Io faccio la classica riduzione di Gauss, senza trasporre la matrice.

[_Tipper]

Se però riduce subito per colonne...

[franced]

"Sergio":[quote="franced"]Io faccio la classica riduzione di Gauss, senza trasporre la matrice.

Trasponendo ci si semplifica la vita e si evitano errori: se riduci la trasposta, le righe non nulle sono una base dell'immagine comunque siano state trasformate dalla riduzione. Se non trasponi, devi poi andarti a trovare una base nella matrice associata, non puoi prendere colonne della ridotta. O sbaglio?[/quote]


Io riduco la matrice con l'eliminazione di Gauss "standard", senza trasporre niente.
Alla fine guardo le colonne che contengono i pivot e prendo le colonne corrispondenti della matrice iniziale.

[franced]

Faccio un esempio del mio procedimento sulla matrice

$((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,-4))$

sommo la prima e la seconda riga:

$((1,-1,0),(0,0,0),(0,0,-4))$

i pivot sono nella prima e nella terza colonna.

Quindi una base dell'immagine è data dai vettori che si trovano
nella prima e nella terza colonna della matrice di partenza:

$((1),(-1),(0))$ ; $((0),(0),(-4))$

[franced]

Ok, io nelle mie esercitazioni a ingegneria seguo il libro "Geometria" di Abate,
che fa la riduzione a scala come ho fatto vedere.
Gli studenti ci si trovano abbastanza bene.

[michealorion]

salve a tutti, sono nuovo, ma vorrei porvi un quesito che spesso mi siete risultati di grande aiuto,
devo studiare l'esistenza di un endomorfismo di $$RR$^2$ tale che:

$f$(1,2)=(2,1)
$f$(2,1)= (0,0)

poi trovare una base Im$f$e una per il Ker$f$

ho cercato subito la matrice associata ad $f$ rispetto a la base B$(1,0),(0,1)$ e B'$(1,2),(2,1)$

quindi $f$(2,1) = 0(0,1)+0(1,0) $in$ker$f$


$f$(1,2) = 1(1,0)+2(0,1)

quindi la matrice associata è: $((0,1),(0,2))$

ora si vede che comunque il rango della matrice è 1
che la dimensione dell Im$f$ è 1 perchè una colonna è nulla

come faccio però a studiare l'esistenza di questo endomorfismo?
e per studiare le basi?
[/pgn][/chesspos][/asvg][/code]

[michealorion]

io pensavo che funzionasse cosi:

$f$(2,1) = (1,2)
$f$(1,2) = (0,0)

scelgo
B <(2,1),(1,2)>
B' canonica <(1,0),(0,1)>

scelgo queste basi per aiutarmi con i conti
se indico:
<(2,1),(1,2)> = v1,v2
<(1,0),(0,1)> = w1,w2

avrò che $f$(v1) = a11*w1+a21*w2 che è proprio $f$(2,1) = 1(1,0)+2(0,1)
$f$(v2) = a12*w1+a22*w2 che è proprio $f$(1,2) = 0(1,0)+0(0,1)

mettendo i coefficienti in colonna ho la matrice associata alla $f$ rispetto a BB'

$((1,0),(2,0))$

da qui si capisce subito che :
dim Im$f$ = 1 perchè c'è una colonna nulla
il rango della matrice associata a BB' = 1

Quindi Dim $RR$2 - rango matrice associata BB' = Dim Ker $f$ = 1

e qui per trovare la base del ker f risolvevo questo sistema

$((1,0,0),(2,0,0))$

non capisco cosa sto sbagliando nel mio ragionamento, sarà una cavolata, ma non riesco proprio ad arrivarci

[michealorion]

cavolo hai ragione!!! ho pasticciato fra coordinate e vettori, ma ora ho capito tutto,...grazie mille sei stato di grande aiuto.