Studio di applicazioni lineari
Salve ho dei dubbi su un esercizio...mi sapete dire qualcosa?
Studiare l'app lineare rappresentata rispetto la base standard di $RR^4$ e di $RR^3$ dalla matrice:
$A=((1+k,0,2k,-3k+1),(2,1,2+k,-2),(1,0,k,1))
Si trovi al variare di $k in RR$ una base di $Im(f)$ e una di $Ker (f)$
....
Io l'ho svolto inizialmente così.
Una basa di $Im(f)$ è dato dai vettori indipendenti di $L(((1+k),(2),(1)) ((0),(1),(0)) ((2k),(2+k),(k)) ((-3k+1),(-2),(1)))
Un minore non nullo di A $AA k in RR$ è contenuto nelle ultime due righe e prime due colonne,quindi $2<=rgA<=3
Per il teorema degli orlati: $rgA=3 <->$ tra gli orlati di ordine 3 se ne trova almeno uno non nullo.
$det ((1+k,0,2k),(2,1,2+k),(1,0,k))!=0 -> k(k-1)!=0
$det ((1+k,0,-3k+1),(2,1,-2),(1,0,1))!=0 -> 2k!=0
Quindi per k!=1,0 rgA=3 ed una base di $Im(f)$ è data da $(((1+k),(2),(1)) ((0),(1),(0))((2k),(2+k),(k)))
Mentre per k=0 ottengo una base di $Im(f)$ da $((1+k),(2),(1)) ((0),(1),(0))
Per k=1 ottengo una base di dim=3 prendendo: $ ((1+k),(2),(1)) ((0),(1),(0)) ((-3k+1),(-2),(1))
Ma per i nuclei come faccio? Dalla definizione di nucleo trovo: $Ker(f)={v in RR^n:f(v)=0}
Ciò che non ho capito è se devo considerare il sistema omogeneo associato ad A nei vari casi di k oppure alle basi di $Im(f)!
Che devo fare? E' giusto fin dove ho svolto?
Grazie dell'attenzione
Studiare l'app lineare rappresentata rispetto la base standard di $RR^4$ e di $RR^3$ dalla matrice:
$A=((1+k,0,2k,-3k+1),(2,1,2+k,-2),(1,0,k,1))
Si trovi al variare di $k in RR$ una base di $Im(f)$ e una di $Ker (f)$
....
Io l'ho svolto inizialmente così.
Una basa di $Im(f)$ è dato dai vettori indipendenti di $L(((1+k),(2),(1)) ((0),(1),(0)) ((2k),(2+k),(k)) ((-3k+1),(-2),(1)))
Un minore non nullo di A $AA k in RR$ è contenuto nelle ultime due righe e prime due colonne,quindi $2<=rgA<=3
Per il teorema degli orlati: $rgA=3 <->$ tra gli orlati di ordine 3 se ne trova almeno uno non nullo.
$det ((1+k,0,2k),(2,1,2+k),(1,0,k))!=0 -> k(k-1)!=0
$det ((1+k,0,-3k+1),(2,1,-2),(1,0,1))!=0 -> 2k!=0
Quindi per k!=1,0 rgA=3 ed una base di $Im(f)$ è data da $(((1+k),(2),(1)) ((0),(1),(0))((2k),(2+k),(k)))
Mentre per k=0 ottengo una base di $Im(f)$ da $((1+k),(2),(1)) ((0),(1),(0))
Per k=1 ottengo una base di dim=3 prendendo: $ ((1+k),(2),(1)) ((0),(1),(0)) ((-3k+1),(-2),(1))
Ma per i nuclei come faccio? Dalla definizione di nucleo trovo: $Ker(f)={v in RR^n:f(v)=0}
Ciò che non ho capito è se devo considerare il sistema omogeneo associato ad A nei vari casi di k oppure alle basi di $Im(f)!
Che devo fare? E' giusto fin dove ho svolto?
Grazie dell'attenzione
Risposte
Credo che fino ad ora non ci sono pecche...
Per il $ker A$, devi trovare tutti i vettori $v \in RR^4$, per cui $A* v = 0$. Devi dunque risolvere soltanto il sistema omogeneno, e trovare tutte le possibili soluzioni. Applica il metodo di Gauss, riduci la matrice a scalini.
Per il $ker A$, devi trovare tutti i vettori $v \in RR^4$, per cui $A* v = 0$. Devi dunque risolvere soltanto il sistema omogeneno, e trovare tutte le possibili soluzioni. Applica il metodo di Gauss, riduci la matrice a scalini.
Grazie, ma devo risolverlo prima per$k!=1,0$ poi per $k=1$ e infine per $k=0$
Sapendo che per k!=0 si ha rgA=3 esistono infinite solzioni con un solo parametro di varianza $dim Ker(f)=1
Mentre per k=0 esistono infinite soluzioni con 2 parametri poichè rgA=2. e qui $dim Ker(f)=2
Giusto?
Pensandoci bene non devo studiar i casi $k!=1$ e $k=1$ perchè basta prendere l'altro minore che per k=1 non si annulla!
esatto?
Sapendo che per k!=0 si ha rgA=3 esistono infinite solzioni con un solo parametro di varianza $dim Ker(f)=1
Mentre per k=0 esistono infinite soluzioni con 2 parametri poichè rgA=2. e qui $dim Ker(f)=2
Giusto?
Pensandoci bene non devo studiar i casi $k!=1$ e $k=1$ perchè basta prendere l'altro minore che per k=1 non si annulla!
esatto?
Io ti direi di ridurre prima la matrice a scalini, indipendentemente da k. Quando hai la tua matrice a scalini, puoi fare una discussione sui possibili valori pivots (gli elementi sugli scalini), quando si annullano in funzione di k. Da lì è semplice dedurre tutte le possibili soluzioni al variare di k.
Grazie tante!! in effetti con la riduzione di Gauss si incorre in meno errori al livello concettuale...grazie ancora!!
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