Studio delle proprietà topologiche
Sto preparando l'esame di geometria 2 e la prima domanda di topologia che pone sempre il mio professore è la determinazione dielle proprietà topologiche di una topologia assegnata. Ad esempio nell'esercizio proposto:
"Si munisca R della topologia A={0, R, (a,+oo)} al variare di a>=0, e si studino le proprietà topologiche"
Ho calcolato che l'insieme è connesso perchè non esistono aperti disgiunti e non è T0 perchè se scelgo due punti negativi ognuno di essi ha per unico intorno tutto R. Ho problemi invece per la compattezza e gli assiomi di numerabilità. Conosco le definizioni ma non so applicarle al caso specifico dell'esercizio. Potreste indicarmi il metodo? Per quanto riguarda connessione e assiomi di separazione, ivece, ho ragionato correttamente?
"Si munisca R della topologia A={0, R, (a,+oo)} al variare di a>=0, e si studino le proprietà topologiche"
Ho calcolato che l'insieme è connesso perchè non esistono aperti disgiunti e non è T0 perchè se scelgo due punti negativi ognuno di essi ha per unico intorno tutto R. Ho problemi invece per la compattezza e gli assiomi di numerabilità. Conosco le definizioni ma non so applicarle al caso specifico dell'esercizio. Potreste indicarmi il metodo? Per quanto riguarda connessione e assiomi di separazione, ivece, ho ragionato correttamente?
Risposte
Non esiste un "metodo" a parte verificare o confutare gli assiomi a mano.
E' chiaro che è uno spazio compatto, perché?
Non è T0 perché non puoi separare nemmeno i positivi (trova un intorno di $1$ disgiunto da un intorno di \(1/2\)). Quindi non è nemmeno Tx per tutti gli x che implicano T0.
Poi, è second-countable perché ha una base di aperti numerabile: se prendi \(\mathcal B = \{]q,+\infty[\mid q\in\mathbb Q_{\ge 0}\}\cup \{\varnothing,\mathbb R\}\) questa è una base per la topologia in esame.
E' chiaro che è uno spazio compatto, perché?
Non è T0 perché non puoi separare nemmeno i positivi (trova un intorno di $1$ disgiunto da un intorno di \(1/2\)). Quindi non è nemmeno Tx per tutti gli x che implicano T0.
Poi, è second-countable perché ha una base di aperti numerabile: se prendi \(\mathcal B = \{]q,+\infty[\mid q\in\mathbb Q_{\ge 0}\}\cup \{\varnothing,\mathbb R\}\) questa è una base per la topologia in esame.
"killing_buddha":
Non è T0 perché non puoi separare nemmeno i positivi (trova un intorno di $1$ disgiunto da un intorno di \(1/2\)). Quindi non è nemmeno Tx per tutti gli x che implicano T0.
$T_0$ non richiede che siano disgiunti, infatti se ci fossero solo i positivi in questo insieme sarebbe $T_0$ ($1/2\in(0,2/3)$, ma $\not1\in(0,2/3)$).
Poi, è second-countable perché ha una base di aperti numerabile: se prendi \(\mathcal B = \{[q,+\infty)\mid q\in\mathbb Q_{\ge 0}\}\cup \{\varnothing,\mathbb R\}\) questa è una base per la topologia in esame.
A me quelli non sembrano aperti.
A me quelli non sembrano aperti.
Perché non guardi abbastanza.
oppure sei uno di quelle persone strane per cui un razionale non è un reale, perché pensa in termini di teoria dei tipi 
Che definizione di T0 stiamo usando?
Usualmente, gli spazi \(\displaystyle\mathrm{T}_0\) sono gli spazi di Kolmogorov;
nella data topologia \(\displaystyle\mathcal{T}\) su \(\displaystyle\mathbb{R}\), gli insiemi \(\displaystyle[a,+\infty[\) con \(\displaystyle a\in\mathbb{R}_{\geq0}\) non sono né aperti e né chiusi!
nella data topologia \(\displaystyle\mathcal{T}\) su \(\displaystyle\mathbb{R}\), gli insiemi \(\displaystyle[a,+\infty[\) con \(\displaystyle a\in\mathbb{R}_{\geq0}\) non sono né aperti e né chiusi!
Ah, per l'estremo! Correggo
Anche io ho supposto che per $T_0$ si intendesse gli spazi di Kolmogorov, comunque per quanto riguarda l'altra cosa, non mi faccio problemi a considerare reali i numeri razionali, e non so cosa sia la teoria dei tipi.
Comunque tornando al nostro spazio una cosa interessante che si può dire è che è $T_4$
Comunque tornando al nostro spazio una cosa interessante che si può dire è che è $T_4$
"otta96":Casomai è uno spazio normale non di Fréchet.
...tornando al nostro spazio una cosa interessante che si può dire è che è $ T_4 $
"otta96":
Anche io ho supposto che per $T_0$ si intendesse gli spazi di Kolmogorov, comunque per quanto riguarda l'altra cosa, non mi faccio problemi a considerare reali i numeri razionali, e non so cosa sia la teoria dei tipi.
Comunque tornando al nostro spazio una cosa interessante che si può dire è che è $T_4$
Mi potresti spiegare come sei arrivato a dire che è T4(normale)?
"j18eos":
Casomai è uno spazio normale non di Fréchet.
In base alla definizione di normale di Wikipedia sì, in base alla mia è uno spazio $T_4$, poi è ovvio che non è di Frechet ($T_1$) perché non è nemmeno di Kolmogorov ($T_0$).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo