Studio delle coniche
Salve, ho iniziato il mio studio sulle coniche. Ho trovato l'esercizio di cui allego un'immagine, vorrei risolverlo con il metodo canonico, quali sono i passaggi da svolgere nello studio delle coniche con il metodo canonico? Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Dove posso trovare un esercizio simile a quello proposto per vedere il procedimento? Ho iniziato a svolgerlo e presto pubblicherò il mio procedimento per eventuali consigli.
Ho iniziato con il calcolare il discriminante dell'equazione: $x^2−4xy+6x−2y+1=0$ . Per prima cosa ordino l'equazione rispetto alla x ed ottengo: $x^2−(4y+6)x−2y+1=0$
in questo caso ottengo: $a=1,b=4y+6,c=−2y+1$
il discriminante risulta:
$16y^2+56y+32$
Credo di aver fatto bene o ci sono errori?
in questo caso ottengo: $a=1,b=4y+6,c=−2y+1$
il discriminante risulta:
$16y^2+56y+32$
Credo di aver fatto bene o ci sono errori?
non capisco cosa tu intenda per "metodo canonico" e non capisco neanche i passaggi che hai fatto.
se stai preparando un esame di geometria per l'università, solitamente i metodi sono altri (passaggio a coordinate proiettive, matrice associata,...)
se stai preparando un esame di geometria per l'università, solitamente i metodi sono altri (passaggio a coordinate proiettive, matrice associata,...)
Salve itpareid, quello che mi serve è uno schema che mi indichi i punti da seguire per lo studio di una conica partendo da un'equazione data. uno schema con i vari passaggi da effettuare per determinare lo studio di una conica. Spero di essermi spiegato, grazie.
Sono arrivato ad una prima parte della soluzione, ho calcolato per prima cosa le matrici associate:
$A=((1,-2),(-2,0))$ ed $A'=((1,-2,3),(-2,0,-1),(3,-1,1))$
di seguito ho calcolato gli invarianti ortogonali per determinare il tipo di conica:
$I3=det(A')=7!=0$ si tratta di una conica non degenere
$I2=det(A)-4<0$ iperbole.
Fino qui credo di non aver fatto errori, chiedo conferma e grazie per l'aiuto.
$A=((1,-2),(-2,0))$ ed $A'=((1,-2,3),(-2,0,-1),(3,-1,1))$
di seguito ho calcolato gli invarianti ortogonali per determinare il tipo di conica:
$I3=det(A')=7!=0$ si tratta di una conica non degenere
$I2=det(A)-4<0$ iperbole.
Fino qui credo di non aver fatto errori, chiedo conferma e grazie per l'aiuto.
Confermo. In ogni modo, l'equazione della conica può essere scritta nella seguente forma:
$[x^2-4xy+6x-2y+1=0] rarr [((x,y,1))((1,-2,3),(-2,0,-1),(3,-1,1))((x),(y),(1))=0]$
Ora dovresti diagonalizzare la seguente matrice:
$M=((1,-2),(-2,0))$
Essendo simmetrica, gli autovalori sono reali ed è possibile determinare una base ortonormale di autovettori. In questo modo determini il sistema di riferimento ruotato rispetto al quale non compare il termine misto $xy$. Quindi, mediante una traslazione, riduci la conica in forma canonica.
$[x^2-4xy+6x-2y+1=0] rarr [((x,y,1))((1,-2,3),(-2,0,-1),(3,-1,1))((x),(y),(1))=0]$
Ora dovresti diagonalizzare la seguente matrice:
$M=((1,-2),(-2,0))$
Essendo simmetrica, gli autovalori sono reali ed è possibile determinare una base ortonormale di autovettori. In questo modo determini il sistema di riferimento ruotato rispetto al quale non compare il termine misto $xy$. Quindi, mediante una traslazione, riduci la conica in forma canonica.
Dopo aver calcolato le matrici associate ed il tipo di conica, passo al calcolo del polinomio caratteristico:
$pA(λ)=det((1-λ,-2),(-2,0-λ))$
ottengo così due autovalori: $λ1=5/2; λ2=3/2$
Anche qui chiedo conferma.
Se tutto è ok passo al calcolo degli autospazi, grazie ancora.
$pA(λ)=det((1-λ,-2),(-2,0-λ))$
ottengo così due autovalori: $λ1=5/2; λ2=3/2$
Anche qui chiedo conferma.
Se tutto è ok passo al calcolo degli autospazi, grazie ancora.
A me risulta $\lambda=(1+-sqrt17)/2$.
Ho ricalcolato gli autovalori ed il risultato che ottengo è $λ1=5/2; λ2=3/2$. Speculor, puoi pubblicare il procedimento che hai usato per calcolare gli autovalori? Non capisco dove sbaglio.
Devi semplicemente calcolare il determinante di quella matrice e porlo uguale a zero.
io ho fatto così: $pA(λ)=det((1-λ,-2),(-2,0-λ))=(1-λ)*(0-λ)=$λ^2-λ-4
il cui discriminante è: $Δ=16$
e da cui ricavo:
$(1+sqrt(16))/2)$ e $(1-sqrt(16))/2)$
il cui discriminante è: $Δ=16$
e da cui ricavo:
$(1+sqrt(16))/2)$ e $(1-sqrt(16))/2)$
Ok. Se la risolvi dovresti ottenere le mie soluzioni.
Giusto, avevo sbagliato il calcolo del discriminante. Come imposto ora l'esercizio per determinare le tangenti passanti per l'origine?
Non mi risulta che esistano rette tangenti alla conica passanti per l'origine. Infatti, l'origine è un punto interno.
Quindi è sbagliata la traccia dell'esercizio? Nella traccia è richiesto di studiare la conica e di determinare le tangenti passanti per l'origine.
Se espliciti $y$, puoi disegnare la conica facendo un semplice studio di funzione:
$[x^2-4xy+6x-2y+1=0] rarr [y=(x^2+6x+1)/(4x+2)]$
L'origine risulta un punto interno.
$[x^2-4xy+6x-2y+1=0] rarr [y=(x^2+6x+1)/(4x+2)]$
L'origine risulta un punto interno.
bene, e la tangente come la traccio?
Non esistono tangenti passanti per l'origine. Sarebbe come pretendere di condurre le rette tangenti ad una circonferenza passanti per un suo punto interno.
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