Studio delle coniche
Ciao a tutti, ho un piccolo problema per passare alla forma canonica delle coniche...in un esempio:
- ho $x^2+2xy+3y^2+1=0$
La sua matrice associata e $[(1,0,0), (0,1,1), (0,1,3)]$ , e $det A =2$, $det A_(00)=2$
Qundi è una conica irriducibile a centro, ossia un ellisse irriducibile.
- con gli invarianti ortogonali, riesco a trovare $alpha_(11), alpha_(22), alpha_(33)$ tali che la matrice $A'$ congruente ad A sia: $[(alpha_(33),0,0], (o,alpha_(11),0), (0,0,alpha_(22))]$
e ottengo:
$alpha_(33)=1
$alpha_(11)=2+sqrt(2)
$alpha_(22)=2-sqrt(2)
- la mia nuova equazione è $(2-sqrt(2))x^2+(2+sqrt(2))y^2+1=0$
quello che non mi è chiaro (devo aver preso male gli appunti, e c'è una sorta di passaggio "per magia"...sigh..)
è come passare alla forma $x^2/a^2+y^2/b^2=-1$
trovando a e b che, se non fosse un'ellisse priva di punti reali com'è in questo caso, mi permetterebbero di trovare i fuochi..qualcuno può aiutarmi?
- ho $x^2+2xy+3y^2+1=0$
La sua matrice associata e $[(1,0,0), (0,1,1), (0,1,3)]$ , e $det A =2$, $det A_(00)=2$
Qundi è una conica irriducibile a centro, ossia un ellisse irriducibile.
- con gli invarianti ortogonali, riesco a trovare $alpha_(11), alpha_(22), alpha_(33)$ tali che la matrice $A'$ congruente ad A sia: $[(alpha_(33),0,0], (o,alpha_(11),0), (0,0,alpha_(22))]$
e ottengo:
$alpha_(33)=1
$alpha_(11)=2+sqrt(2)
$alpha_(22)=2-sqrt(2)
- la mia nuova equazione è $(2-sqrt(2))x^2+(2+sqrt(2))y^2+1=0$
quello che non mi è chiaro (devo aver preso male gli appunti, e c'è una sorta di passaggio "per magia"...sigh..)
è come passare alla forma $x^2/a^2+y^2/b^2=-1$
trovando a e b che, se non fosse un'ellisse priva di punti reali com'è in questo caso, mi permetterebbero di trovare i fuochi..qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Ti dico affettuosamente che sei un po' ingenuotto perché il problema lo hai risolto, hai già quell'equazione avendo i coefficienti...
Per farla breve poni $a=sqrt(1/(2-sqrt(2)), b=sqrt(1/(2+sqrt(2))$ e ottieni con tali valori $x^2/a^2+y^2/a^2=-1$
Facile no?
Per farla breve poni $a=sqrt(1/(2-sqrt(2)), b=sqrt(1/(2+sqrt(2))$ e ottieni con tali valori $x^2/a^2+y^2/a^2=-1$
Facile no?
errata corrige (ha formattato male le radici scusa)
$a=sqrt(1/(2-sqrt(2))$
$b=sqrt(1/(2+sqrt(2))$
$a=sqrt(1/(2-sqrt(2))$
$b=sqrt(1/(2+sqrt(2))$
Perchè la radice? qual'è la regola generale una volta che ho i 3 alpha per trovare a e b?
Sono un po' testona, lo so, perdonatemi, cerco di smuovermi, ma ognitanto mi incastro ancora su sciocchezze..
Sono un po' testona, lo so, perdonatemi, cerco di smuovermi, ma ognitanto mi incastro ancora su sciocchezze..
Ciao, più che una regola si trattava di porre:
$1/a^2=2-sqrt(2)$
$1/b^2=2+sqrt(2)$
Insomma tu l'equazione dell'ellisse in forma canonica l'avevi trovata dovevi solo riconoscerne i coefficienti (trovati da te mi sono fidato) e cercare gli a,b per cui il reciproco del quadrato fosse uguale.
Credimi quando lo capirai vedrai come era stupido il passaggio.
$1/a^2=2-sqrt(2)$
$1/b^2=2+sqrt(2)$
Insomma tu l'equazione dell'ellisse in forma canonica l'avevi trovata dovevi solo riconoscerne i coefficienti (trovati da te mi sono fidato) e cercare gli a,b per cui il reciproco del quadrato fosse uguale.
Credimi quando lo capirai vedrai come era stupido il passaggio.
Ok ti dico proprio la regola generale spero è chiaro perché vale
$a=sqrt(1/a_(11))$
$b=sqrt(1/a_(22))$
$a=sqrt(1/a_(11))$
$b=sqrt(1/a_(22))$
"zorn":
Ciao, più che una regola si trattava di porre:
$1/a^2=2-sqrt(2)$
$1/b^2=2+sqrt(2)$
Insomma tu l'equazione dell'ellisse in forma canonica l'avevi trovata dovevi solo riconoscerne i coefficienti (trovati da te mi sono fidato) e cercare gli a,b per cui il reciproco del quadrato fosse uguale.
Credimi quando lo capirai vedrai come era stupido il passaggio.
Aaaahh! allora non è magia, $alpha_(11)$ E' $1/a^2$
pensavo bisognare per chissà quale altro isomorfismo! grazie!
Ps.beh, di solito non vado in giro a chiedere alla signora della porta accanto se mi trova un'equazione di un'ellisse...
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