Studio della risolubilità di un sistema lineare con Rouché-Capelli
Buongiorno a tutti,
vorrei spendere il mio primo post sul forum per sottoporvi un esercizio che mi ha creato alcune difficoltà e che non sono sicuro di aver svolto correttamente:
Si studi la risolubilità del sistema lineare parametrico
$\{(3x + 2by + z = 1),(bx + y + 2z = 0),(-2x + 2y + 4z = 4):}$.
Ho proceduto in questo modo:
Sia $A = ((3,2b,1),(b,1,2),(-2,2,4))$ la matrice incompleta del sistema e
$A|b = ((3,2b,1,1),(b,1,2,0),(-2,2,4,4))$ la matrice completa,
ho considerato il caso in cui $"*"det(A) = -8b^2 - 6b + 2 != 0$, da cui si ha $rk(A) = min(3,3) = rk(A|b) = min(3,4) = 3$ e percui il sistema ammette una e una sola soluzione in funzione di $b$. Gli unici valori di $b$ che non verificano $"*"$ sono $b = 1/4, b = -1$ e per entrambi il sistema risulta incompatibile.
A tal punto ho anche calcolato le soluzioni del sistema con il metodo di sostituzione:
$\{(3x + 2by + z = 1),(bx + y + 2z = 0),(-2x + 2y + 4z = 4):}$
ricavo $z$ dalla prima equazione e lo sostituisco nella seconda e terza equzione:
$\{(z = 1 - 3x - 2by),(x = (-y(1 - 4b) - 2)/(b - 6)),(y = 14/((b + 1)(4b - 1))):}$
da cui
$S : x = -2/(b + 1), y = 14/((b + 1)(4b - 1)), z = (-4b^2 + b + 7)/(-4b^2 - 3b + 1) AA b != 1/4, b != -1$.
Spero di non aver commesso errori, in caso contrario ringrazio anticipatamente chiunque me li facesse notare.
vorrei spendere il mio primo post sul forum per sottoporvi un esercizio che mi ha creato alcune difficoltà e che non sono sicuro di aver svolto correttamente:
Si studi la risolubilità del sistema lineare parametrico
$\{(3x + 2by + z = 1),(bx + y + 2z = 0),(-2x + 2y + 4z = 4):}$.
Ho proceduto in questo modo:
Sia $A = ((3,2b,1),(b,1,2),(-2,2,4))$ la matrice incompleta del sistema e
$A|b = ((3,2b,1,1),(b,1,2,0),(-2,2,4,4))$ la matrice completa,
ho considerato il caso in cui $"*"det(A) = -8b^2 - 6b + 2 != 0$, da cui si ha $rk(A) = min(3,3) = rk(A|b) = min(3,4) = 3$ e percui il sistema ammette una e una sola soluzione in funzione di $b$. Gli unici valori di $b$ che non verificano $"*"$ sono $b = 1/4, b = -1$ e per entrambi il sistema risulta incompatibile.
A tal punto ho anche calcolato le soluzioni del sistema con il metodo di sostituzione:
$\{(3x + 2by + z = 1),(bx + y + 2z = 0),(-2x + 2y + 4z = 4):}$
ricavo $z$ dalla prima equazione e lo sostituisco nella seconda e terza equzione:
$\{(z = 1 - 3x - 2by),(x = (-y(1 - 4b) - 2)/(b - 6)),(y = 14/((b + 1)(4b - 1))):}$
da cui
$S : x = -2/(b + 1), y = 14/((b + 1)(4b - 1)), z = (-4b^2 + b + 7)/(-4b^2 - 3b + 1) AA b != 1/4, b != -1$.
Spero di non aver commesso errori, in caso contrario ringrazio anticipatamente chiunque me li facesse notare.
Risposte
Allora lo studio della risolubilità del sistema è corretto. e anche le soluzioni lo sono, però perché l'hai risolto per sostituzione ? le soluzioni le trovavi immediatamente così :
definivi $A_x = ((1,2b,1),(0,1,2),(4,2,4))$ $A_y = ((3,1,1),(b,0,2),(-2,4,4))$ $A_z = ((3,2b,1),(b,1,0),(-2,2,4))$
e di conseguenza hai che $$x=\frac{det(A_x)}{det(A)}$$ $$y=\frac{det(A_y)}{det(A)}$$ $$z=\frac{det(A_z)}{det(A)}$$
che è il metodo standard per risolvere i sistemi di eq lineari
prova a fare i conti e vedrai che ti vengono le tre soluzioni che hai scritto
definivi $A_x = ((1,2b,1),(0,1,2),(4,2,4))$ $A_y = ((3,1,1),(b,0,2),(-2,4,4))$ $A_z = ((3,2b,1),(b,1,0),(-2,2,4))$
e di conseguenza hai che $$x=\frac{det(A_x)}{det(A)}$$ $$y=\frac{det(A_y)}{det(A)}$$ $$z=\frac{det(A_z)}{det(A)}$$
che è il metodo standard per risolvere i sistemi di eq lineari
prova a fare i conti e vedrai che ti vengono le tre soluzioni che hai scritto
"Bossmer":
Allora lo studio della risolubilità del sistema è corretto. e anche le soluzioni lo sono, però perché l'hai risolto per sostituzione ? le soluzioni le trovavi immediatamente così :
definivi $A_x = ((1,2b,1),(0,1,2),(4,2,4))$ $A_y = ((3,1,1),(b,0,2),(-2,4,4))$ $A_z = ((3,2b,1),(b,1,0),(-2,2,4))$
e di conseguenza hai che $$x=\frac{det(A_x)}{det(A)}$$ $$y=\frac{det(A_y)}{det(A)}$$ $$z=\frac{det(A_z)}{det(A)}$$
che è il metodo standard per risolvere i sistemi di eq lineari
Hai assolutamente ragione. Ad essere sincero ho proceduto per sostituzione poichè, insieme all'eliminazione di Gauss, sono gli unici metodi che prendo in considerazione. Dovrei iniziare a dar conto anche a Cramer che, a quanto pare, potrebbe evitarmi calcoli piuttosto esoterici
.A questo punto, concedimi un'altra domanda: nel caso in cui avessi avuto $det(A) = 0 AA b in RR$ e il rango di una o entrambe le matrici fosse risultato dipendente da $b$, avrei dovuto imporre l'uguaglianza $rk(A) = rk(A|b)$ dalla quale avrei ottenuto gli eventuali valori di $b$ percui il sistema avrebbe avuto infinite soluzioni, dico bene?
Voto per Gauss
"arnett":
Io tifo per la sostituzione
"axpgn":
Voto per Gauss
hahahahhaha si ma non è una nomination per il metodo più figo ahhahhahahah
Siamo 2 a 1 …
"Nighthawk":
Hai assolutamente ragione. Ad essere sincero ho proceduto per sostituzione poichè, insieme all'eliminazione di Gauss, sono gli unici metodi che prendo in considerazione. Dovrei iniziare a dar conto anche a Cramer che, a quanto pare, potrebbe evitarmi calcoli piuttosto esoterici
A questo punto, concedimi un'altra domanda: nel caso in cui avessi avuto $det(A) = 0 AA b in RR$ e il rango di una o entrambe le matrici fosse risultato dipendente da $b$, avrei dovuto imporre l'uguaglianza $rk(A) = rk(A|b)$ dalla quale avrei ottenuto gli eventuali valori di $b$ percui il sistema avrebbe avuto infinite soluzioni, dico bene?
Vanno tenuti in considerazione tutti i metodi, gauss è molto utile se hai sistemi molto grossi e termini noti complicati, ma come vedi cramer è molto più veloce se i termini noti ti permettono di calcolare velocemente i determinanti, questo sistema era chiaramente pensato per essere risolto con Cramer, però son gusti.
Se $det(A)=0$ dipende qual'è l'obbiettivo, se era quello di studiare la solvibilità in funzione di $b$ allora ti calcoli il rango di $A$ con la riduzione a scala, e trovi per quali $b$ la matrice ha rango 2 o rango 1. Se invece sai già che vuoi trovare le soluzioni applichi direttamente gauss alla matrice $A|b$ e questo ti da direttamente il rango della matrice, ti permette di esplicitare le condizioni di $b$ per cui lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1 oppure 2, e incidentalmente ti trovi anche già col sistema risolto.
"arnett":
Ciao e benvenut*
Io tifo per la sostituzione (o meg, che sono la stessa cosa sotto veste diversa)... Cramer lo eviterei come la peste.
Ad ogni modo: lo studio della compatibilità è giusto, come già dice Bossomer, ma c'è un problema nella risoluzione dopo. Qui$ \{(z = 1 - 3x - 2by),(x = (-y(1 - 4b) - 2)/(b - 6)),(y = 14/((b + 1)(4b - 1))):} $
stai dividendo per $b-6$ senza chiedere che $b$ sia diverso da $6$. Quindi: al secondo passaggio ricava prima $y$ che $x$, il che ti permette di dividere per $4b-1$, che hai già richiesto essere diverso da zero, senza condizioni di esistenza superflue.
Ciao! Non ti trovi con i conti poiché ho volutamente saltato diversi passaggi, mi interessava più che altro la prima parte dell'esercizio.
"Bossmer":
Vanno tenuti in considerazione tutti i metodi, gauss è molto utile se hai sistemi molto grossi e termini noti complicati, ma come vedi cramer è molto più veloce se i termini noti ti permettono di calcolare velocemente i determinanti, questo sistema era chiaramente pensato per essere risolto con Cramer, però son gusti.
Se $det(A)=0$ dipende qual'è l'obbiettivo, se era quello di studiare la solvibilità in funzione di $b$ allora ti calcoli il rango di $A$ con la riduzione a scala, e trovi per quali $b$ la matrice ha rango 2 o rango 1. Se invece sai già che vuoi trovare le soluzioni applichi direttamente gauss alla matrice $A|b$ e questo ti da direttamente il rango della matrice, ti permette di esplicitare le condizioni di $b$ per cui lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1 oppure 2, e incidentalmente ti trovi anche già col sistema risolto.
Premesso che, ovviamente, l'ipotesi era riferita ad un caso generale che vedeva il determinante variare in funzione del parametro, e non a quello proposto in questo topic, non riesco a capire la prima parte del tuo ragionamento. Nello specifico, cosa mi assicura che trovato $b: rk(A) = 1 vv 2$, per gli stessi valori avrò anche $rk(A) = rk(A|b)$? Nel caso in cui sia solo $rk(A)$ a variare in funzione di $b$, dovrei in ogni caso imporre l'equazione $rk(A) = rk(A|b)$. A meno che quando dici di trovarmi per quali valori di $b$ $A$ ha rango 1 o 2, assumi di conoscere $rk(A|b)$ (e in tal caso si tratterebbe soltanto di un'incomprensione).
Grazie per l'attenzione!
"arnett":
$A$ va ridotta a fianco di $b$ (termine noto, sfortunata scelta del parametro), informazioni solo sul rango di $A$ e non sul rango di $(A|b)$ non permettono di concludere nulla sulla compatibilità del sistema.
Si scusate ho scritto $A$ al posto di $A|b$ è corretto quello che dice arnett.
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