Studio del segno di una forma quadratica parametrica
Ho alcuni dubbi riguardo lo studio delle forme quadratiche parametriche, e spero con questo messaggio (o meglio ancora con la discussione che mi auguro ne possa nascere) di fugarli.
Inizio con l'esporre un primo esercizio, al quale ne seguirà un altro.
"Al variare del parametro $ alpha $ studia il segno della forma quadratica $ Q(x,y)=alphax^2+4xy+alphay^2 $.
Una volta esplicitata la matrice associata, si può affrontare questo problema sia mediante l'applicazione del primo teorema di debreu sia attraverso il criterio di sylvester.
Uso prima il criterio di sylvester.
$ A=[ ( alpha , 2 ),( 2 , alpha ) ] $ da cui $ A1=2>0 $ ; $ A2=det A=| ( alpha , 2 ),( 2 , alpha ) | =alpha^2-4 $
La forma quadratica sarà definita positiva se $ alpha^2-4>0 $, quindi per $ alpha>2 $ e per $ alpha<-2 $ la matrice è definita positiva. D'altro canto, essendo una disequazione di secondo grado con $ Delta>0 $, essa risulta positiva per valori esterni e negativa per valori interni quindi per $ -2
Di contro, se $ alpha=-2 $ si ha $ A=[ ( -2, 2 ),( 2 , -2) ] $ da cui $ det A=| ( -2-lambda, 2 ),( 2 , -2-lambda) | -> lambda1=0, lambda2=-4 $, per cui la forma quadratica è semidefinita negativa.
Per $ alpha=0 $ si ha $ A=[ ( 0, 2 ),( 2 , 0) ] $ da cui $ det A=| ( -lambda, 2 ),( 2 , -lambda) | -> lambda1=2, lambda2=-2 $, per cui la forma quadratica è indefinita.
Applichiamo adesso, invece, il primo teorema di debreu.
$ A=[ ( alpha , 2 ),( 2 , alpha ) ] ->det| ( alpha-lambda , 2 ),( 2 , alpha-lambda ) | =alpha^2+lambda^2-2alphalambda-4=lambda^2-2alphalambda-4+alpha^2=0 $ da cui $ lambda1=alpha+2 $ e $ lambda2= alpha-2 $.
Ora, coerentemente col criterio di sylvester, si verifica che:
se $ alpha=2 $ si hanno come soluzioni $ 4 $ e $ 0 $, per cui la forma quadratica è semidefinita positiva
se $ alpha=-2 $ si hanno come soluzioni $ 0 $ e $ -4 $, per cui la forma quadratica è semidefinita negativa
se $ alpha=0 $ si hanno come soluzioni $ 2 $ e $ -2 $, per cui la forma quadratica è indefinita
se $ alpha>2 $ (ad es. $ 3 $) si hanno come soluzioni $ 5 $ e $ 1 $, per cui la forma quadratica è definita positiva
se $ alpha<-2 $ (ad es. $ -3 $) si hanno come soluzioni $ -1 $ e $ -5 $, per cui la forma quadratica è definita negativa. Perché? Non avevamo detto che per valori esterni la forma quadratica era definita positiva?
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Passiamo al secondo esercizio.
"Considera la forma quadratica dipendente da parametro $ Q(x,y,z;alpha)=x^2+z^2+2alphaxy+2xz $. Per ogni parametro $ alpha in R $ scrivi la matrice simmetrica associata $ A(alpha) $ e studia il segno di $ Q $".
Ripetiamo lo stesso procedimento fatto sopra. Iniziamo col criterio di sylvester.
$ A=[ ( 1 , alpha , 1 ),( alpha , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ] -> A1=1>0 $ ; $ A2=... $ qualsiasi minore di secondo ordine si prende in considerazione si ottiene che il $ det=0 $, quindi si può concludere che la forma quadratica è per ogni $ alpha $ semidefinita positiva?
Passiamo al primo teorema di debreu.
$ A=[ ( 1, alpha , 1 ),( alpha , 0, 0 ),( 1 , 0 , 1) ] -> det|( 1-lambda , alpha , 1 ),( alpha , -lambda , 0 ),( 1 , 0 , 1-lambda )|{: ( 1-lambda , alpha ),( alpha , -lambda ),( 1 , 0 ) :}->lambda^3-2lambda^2+lambda(1-alpha^2)+alpha^2=0 $ da cui $ lambda1=1 $ , $ lambda2=(1+root()(1+4alpha^2)/2) $ e $ lambda3=(1-root()(1+4alpha^2)/2) $.
Se $ alpha=0 $ si hanno come soluzioni $ lambda1=1 $, $lambda2=1 $ e $ lambda3=0 $, per cui la forma quadratica è semidefinita positiva. E fin qui c'è coerenza. Tuttavia per $ alpha>0 $ la matrice è definita positiva, mentre per $ alpha<0 $ la matrice è definita negativa. Perché questa differenza?
Dove sbaglio? Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo
Inizio con l'esporre un primo esercizio, al quale ne seguirà un altro.
"Al variare del parametro $ alpha $ studia il segno della forma quadratica $ Q(x,y)=alphax^2+4xy+alphay^2 $.
Una volta esplicitata la matrice associata, si può affrontare questo problema sia mediante l'applicazione del primo teorema di debreu sia attraverso il criterio di sylvester.
Uso prima il criterio di sylvester.
$ A=[ ( alpha , 2 ),( 2 , alpha ) ] $ da cui $ A1=2>0 $ ; $ A2=det A=| ( alpha , 2 ),( 2 , alpha ) | =alpha^2-4 $
La forma quadratica sarà definita positiva se $ alpha^2-4>0 $, quindi per $ alpha>2 $ e per $ alpha<-2 $ la matrice è definita positiva. D'altro canto, essendo una disequazione di secondo grado con $ Delta>0 $, essa risulta positiva per valori esterni e negativa per valori interni quindi per $ -2
Di contro, se $ alpha=-2 $ si ha $ A=[ ( -2, 2 ),( 2 , -2) ] $ da cui $ det A=| ( -2-lambda, 2 ),( 2 , -2-lambda) | -> lambda1=0, lambda2=-4 $, per cui la forma quadratica è semidefinita negativa.
Per $ alpha=0 $ si ha $ A=[ ( 0, 2 ),( 2 , 0) ] $ da cui $ det A=| ( -lambda, 2 ),( 2 , -lambda) | -> lambda1=2, lambda2=-2 $, per cui la forma quadratica è indefinita.
Applichiamo adesso, invece, il primo teorema di debreu.
$ A=[ ( alpha , 2 ),( 2 , alpha ) ] ->det| ( alpha-lambda , 2 ),( 2 , alpha-lambda ) | =alpha^2+lambda^2-2alphalambda-4=lambda^2-2alphalambda-4+alpha^2=0 $ da cui $ lambda1=alpha+2 $ e $ lambda2= alpha-2 $.
Ora, coerentemente col criterio di sylvester, si verifica che:
se $ alpha=2 $ si hanno come soluzioni $ 4 $ e $ 0 $, per cui la forma quadratica è semidefinita positiva
se $ alpha=-2 $ si hanno come soluzioni $ 0 $ e $ -4 $, per cui la forma quadratica è semidefinita negativa
se $ alpha=0 $ si hanno come soluzioni $ 2 $ e $ -2 $, per cui la forma quadratica è indefinita
se $ alpha>2 $ (ad es. $ 3 $) si hanno come soluzioni $ 5 $ e $ 1 $, per cui la forma quadratica è definita positiva
se $ alpha<-2 $ (ad es. $ -3 $) si hanno come soluzioni $ -1 $ e $ -5 $, per cui la forma quadratica è definita negativa. Perché? Non avevamo detto che per valori esterni la forma quadratica era definita positiva?
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Passiamo al secondo esercizio.
"Considera la forma quadratica dipendente da parametro $ Q(x,y,z;alpha)=x^2+z^2+2alphaxy+2xz $. Per ogni parametro $ alpha in R $ scrivi la matrice simmetrica associata $ A(alpha) $ e studia il segno di $ Q $".
Ripetiamo lo stesso procedimento fatto sopra. Iniziamo col criterio di sylvester.
$ A=[ ( 1 , alpha , 1 ),( alpha , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ] -> A1=1>0 $ ; $ A2=... $ qualsiasi minore di secondo ordine si prende in considerazione si ottiene che il $ det=0 $, quindi si può concludere che la forma quadratica è per ogni $ alpha $ semidefinita positiva?
Passiamo al primo teorema di debreu.
$ A=[ ( 1, alpha , 1 ),( alpha , 0, 0 ),( 1 , 0 , 1) ] -> det|( 1-lambda , alpha , 1 ),( alpha , -lambda , 0 ),( 1 , 0 , 1-lambda )|{: ( 1-lambda , alpha ),( alpha , -lambda ),( 1 , 0 ) :}->lambda^3-2lambda^2+lambda(1-alpha^2)+alpha^2=0 $ da cui $ lambda1=1 $ , $ lambda2=(1+root()(1+4alpha^2)/2) $ e $ lambda3=(1-root()(1+4alpha^2)/2) $.
Se $ alpha=0 $ si hanno come soluzioni $ lambda1=1 $, $lambda2=1 $ e $ lambda3=0 $, per cui la forma quadratica è semidefinita positiva. E fin qui c'è coerenza. Tuttavia per $ alpha>0 $ la matrice è definita positiva, mentre per $ alpha<0 $ la matrice è definita negativa. Perché questa differenza?
Dove sbaglio? Qualcuno può aiutarmi? Grazie in anticipo
Risposte
UP
Ho fatto una gran confusione purtroppo.
Al secondo esercizio, applicando il criterio di sylvester, il minore $ A2=-alpha^2>0 $, da cui $ alpha<0 $. Cosa ne concludo?
Sempre al secondo esercizio lo svolgimento del polinomio caratteristico è completamente sballato. Stanchezza da esame purtroppo. Ciononostante non saprei comunque come svolgerlo.
Al secondo esercizio, applicando il criterio di sylvester, il minore $ A2=-alpha^2>0 $, da cui $ alpha<0 $. Cosa ne concludo?
Sempre al secondo esercizio lo svolgimento del polinomio caratteristico è completamente sballato. Stanchezza da esame purtroppo. Ciononostante non saprei comunque come svolgerlo.
Ne dovrei concludere che la forma quadratica è, per $ alpha<0 $, definita positiva, per $ alpha>0 $ definita negativa e per $ alpha=0 $ semidefinita positiva.
E' corretto?
E' corretto?
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