Studio del nucleo di una funzione lineare
Perché il nucleo di una funzione lineare si studia attraverso il sistema omogeneo AX= 0 dove A è la matrice associata alla funzione nelle basi ordinate fissate per dominio e codominio? Il libro mi dice che il sistema e la condizione di appartenenza al nucleo sono scritture algebriche equivalenti, ma non riesco capire perché
Risposte
Qual è la definizione di nucleo di un'applicazione lineare? Si gioca tutto lì.
L'insieme dei vettori v tali che f(v) = 0 ma non capisco come si correli alla scrittura matriciale
Bene, mi pare di capire che il tuo problema sia nella scrittura per componenti.
Partiamo dalla definizione: dato un spazio vett. $V$ finitamente generato su un campo ... ecc. si definisce nucleo o $ker$ di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali $V->W$ il sottospazio di $V$ così definito:
$ker(f)={vec v in V| f(vecv)=vec0}$. Come vedi ho messo il simbolo di vettore dove andava messo.
Però sai, o dovresti sapere, che un'applicazione lineare può essere identificata da una matrice, detta matrice associata. Grazie ad essa, l'operazione $f(vecv)$ è equivalente a $A*vecv$, dove $A$ è proprio questa matrice rappresentativa.
Ora torniamo alla definizione di nucleo: $ker(f)={vec v in V| f(vecv)=vec0}=> ker(f)={vec v in V| A*vecv=vec0}$
Chiaramente, per trovare il nucleo, stiamo cercando quel vettore che risolve quel sistema lineare omogeneo.
Partiamo dalla definizione: dato un spazio vett. $V$ finitamente generato su un campo ... ecc. si definisce nucleo o $ker$ di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali $V->W$ il sottospazio di $V$ così definito:
$ker(f)={vec v in V| f(vecv)=vec0}$. Come vedi ho messo il simbolo di vettore dove andava messo.
Però sai, o dovresti sapere, che un'applicazione lineare può essere identificata da una matrice, detta matrice associata. Grazie ad essa, l'operazione $f(vecv)$ è equivalente a $A*vecv$, dove $A$ è proprio questa matrice rappresentativa.
Ora torniamo alla definizione di nucleo: $ker(f)={vec v in V| f(vecv)=vec0}=> ker(f)={vec v in V| A*vecv=vec0}$
Chiaramente, per trovare il nucleo, stiamo cercando quel vettore che risolve quel sistema lineare omogeneo.
Ma l'operazione che associa ad ogni vettore v, il vettore Av non è una funzione che coinvolge due spazi numerici e dove A è una matrice assegnata generica? Scegliendo poi le basi canoniche di entrambi gli spazi numerici si arriverebbe a concludere che la matrice associata alla funzione così definita coincide con la matrice assegnata A. Quindi le due operazioni sono equivalenti solo se si scelgono le basi canoniche?
Non ho ben capito quello che hai scritto sinceramente. Fissata una base, e data un'applicazione lineare $f$, fare $f(v)$ coincide col fare $A*v$. Dove $A$ è la matrice associata.
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