Studio curva piana [Risolto]
Ho il seguente problema di Geometria (I anno ing Meccanica)
Devo studiare la curva piana di equazione
$ y^2(x-2)^2+y^3+2(x-2)^2=0 $
Nel punto $ (x,y)=(2,0) $
Mi interessa risolvere con il metodo del fascio di rette passanti per il punto in questione.
Ovvero devo risolvere mettendo a sistema la curva con il fascio di equazione
$ y=m(x-2) $
Il mio problema è quindi lo studio dell'equazione che ne deriva e quindi l'individuazione del coefficiente m corretto che poi dovrebbe indicarmi equazione e tipologia delle rette tangenti.
Qualcuno potrebbe mostrarmi la procedura corretta per determinare $ m $?
Grazie in anticipo a chiunque risponda
Soluzione
Devo studiare la curva piana di equazione
$ y^2(x-2)^2+y^3+2(x-2)^2=0 $
Nel punto $ (x,y)=(2,0) $
Mi interessa risolvere con il metodo del fascio di rette passanti per il punto in questione.
Ovvero devo risolvere mettendo a sistema la curva con il fascio di equazione
$ y=m(x-2) $
Il mio problema è quindi lo studio dell'equazione che ne deriva e quindi l'individuazione del coefficiente m corretto che poi dovrebbe indicarmi equazione e tipologia delle rette tangenti.
Qualcuno potrebbe mostrarmi la procedura corretta per determinare $ m $?
Grazie in anticipo a chiunque risponda
Soluzione
"giovanni1234":
Il punto in analisi è un punto doppio per la curva (molteplicità 2) le tangenti principali si trovano imponendo che il sistema di intersezione abbia molteplicità almeno 3. L'intersezione con il fascio fornisce l'equazione:
$ y^2(y^2/m^2+y+2/m^2)=0 $
Per prima cosa scarto i valori $m=0$
Adesso questa si verifica per
$y=0$ con molteplicità 2
Affinché si possa trovare la tangente principale in quel punto si deve imporre una molteplicità superiore. Affinché quindi $y=0$ abbia molteplicità 3 dovrà essere anche soluzione del secondo termine
$(y^2/m^2+y+2/m^2)=0$
Si risolve l'equazione trovando i valori di y (ne riporto solo uno qui)
$y_1=(√(m^4 - 8) - m^2)/2$
Si impone la soluzione precedete per aumentarne la molteplicità
$0=(√(m^4 - 8) - m^2)/2$
Questa, come si vede, non sarà mai verificata, cioè non esiste nessun valore di $m$ che la soddisfa.
Allora? Che si fa? Il fatto è che il fascio non prende in considerazione tutte le rette, ma esclude la retta
$x=2$
Questa allora dovrà essere studiata intersecandola con la curva, il sistema curva-retta è:
${ ( y^2(x-2)^2+y^3+2(x-2)^2=0 ),( x=2):}$
Da cui
$y^3=0$
Questa ha molteplicità 3 per $y=0$ il significa due cose:
1) Per la retta x=2 passa una/la tangente principale
2)Il punto essendo un punto singolare doppio per la curva e molteplicità di intersezione 3 con la tangente è una cuspide
Posto anche il grafico
Risposte
Ciao, non ho capito qual è il problema?, cioè: quali rette devi determinare?
Per prima cosa ti ringrazio di aver risposto!
Il problema, ovvero quello che l'esercizio mi chiede, è stabilire come si comporta la curva nel punto dato. Ovvero se il punto è una cuspide, un punto doppio isolato, ecc...
Per farlo devo (ripeto "devo" poiché l'unica cosa che so per certo è che "devo" risolvere così e non ad es. utilizzando derivate parziali) utilizzare un fascio di rette passante per il punto dato e farne l'intersezione con la curva. Una volta determinato m potrò sostituirlo nell'equazione del fascio ed ottenere l'equazione delle rette tangenti. A seconda poi di come sono le tangenti (immaginarie e distinte, reali e coincidenti,ecc...) potrò capire che tipo di punto è quello assegnato.
Adesso in pratica si arriva ad un'equazione del tipo
$ y^2(y^2/m^2+y+2/m^2)=0 $
Questa va risolta considerando m come parametro. La mia domanda è "come?"...Ovvero, ovviamente si tratta di un prodotto quindi si annullerà quando saranno nulli i i due fattori.
L'annullarsi del primo porta alla soluzione scontata
$ y=0 $
Con molteplicità 2. Il che non mi dice nulla di nuovo infatti dato che la curva passa per il punto $(x,y)=(2,0) $ la soluzione $ y=0 $ deve essere necessariamente una soluzione (nel caso poi doppia) del sistema intersezione.
Il secondo fattore invece è un'equazione di 2° in y con $ m $ parametro, che va valutata per $ y!= 0 $ (altrimenti ricado nel caso di annullamento del primo fattore)
1) Come si procede?
2)Trovo le soluzioni di y?
3)Su molti appunti ed esercizi on-line ho visto che solitamente si impone l'annullarsi del $ Delta $ e da qui si ricava m, vale anche in questo caso?
4)Su altri appunti invece si risolve l'equazione di 2° in y, e poi si impone il passaggio per il punto, in questo caso ponendo y=0 [sempre per il fatto che (x,y)=(2,0)]. Fatto questo si arriva ad una relazione con unica incognita "m" che quindi può essere determinato.
5)Ovviamente 3) e 4) non sono equivalenti e portano a risultati differenti: come si procede?
6)Inoltre ho il seguente dubbio: "Devo discutere il dominio di questa equazione di 2° accettando solo $ m!= 0 $ (m si trova al denominatore)?"
7)In questo caso dal sistema di intersezione sono giunto ad una equazione in y, ma sarebbe stato lo stesso effettuare la sostituzione e giungere ad un'equazione in x?
8)Infine, osservando l'equazione di 2° con parametro $ m $ non dovrei anche valutare l'eventuale annullarsi del termine $ a $ ? Ovvero un'equazione di secondo grado del tipo $ ay^2+by +c =0 $ nel caso di $ a=0 $ si ridurrebbe ad una equazione di primo grado. Devo o non devo fare anche questo discorso?
Come vedi le domande sono molte è per questo che ho preferito non fare ulteriore confusione postando un mio tentativo di soluzione sbagliato. Diciamo che fin dove ho scritto sono certo di quel che ho fatto. Ho bisogno di aiuto per completare il problema.
Il problema, ovvero quello che l'esercizio mi chiede, è stabilire come si comporta la curva nel punto dato. Ovvero se il punto è una cuspide, un punto doppio isolato, ecc...
Per farlo devo (ripeto "devo" poiché l'unica cosa che so per certo è che "devo" risolvere così e non ad es. utilizzando derivate parziali) utilizzare un fascio di rette passante per il punto dato e farne l'intersezione con la curva. Una volta determinato m potrò sostituirlo nell'equazione del fascio ed ottenere l'equazione delle rette tangenti. A seconda poi di come sono le tangenti (immaginarie e distinte, reali e coincidenti,ecc...) potrò capire che tipo di punto è quello assegnato.
Adesso in pratica si arriva ad un'equazione del tipo
$ y^2(y^2/m^2+y+2/m^2)=0 $
Questa va risolta considerando m come parametro. La mia domanda è "come?"...Ovvero, ovviamente si tratta di un prodotto quindi si annullerà quando saranno nulli i i due fattori.
L'annullarsi del primo porta alla soluzione scontata
$ y=0 $
Con molteplicità 2. Il che non mi dice nulla di nuovo infatti dato che la curva passa per il punto $(x,y)=(2,0) $ la soluzione $ y=0 $ deve essere necessariamente una soluzione (nel caso poi doppia) del sistema intersezione.
Il secondo fattore invece è un'equazione di 2° in y con $ m $ parametro, che va valutata per $ y!= 0 $ (altrimenti ricado nel caso di annullamento del primo fattore)
1) Come si procede?
2)Trovo le soluzioni di y?
3)Su molti appunti ed esercizi on-line ho visto che solitamente si impone l'annullarsi del $ Delta $ e da qui si ricava m, vale anche in questo caso?
4)Su altri appunti invece si risolve l'equazione di 2° in y, e poi si impone il passaggio per il punto, in questo caso ponendo y=0 [sempre per il fatto che (x,y)=(2,0)]. Fatto questo si arriva ad una relazione con unica incognita "m" che quindi può essere determinato.
5)Ovviamente 3) e 4) non sono equivalenti e portano a risultati differenti: come si procede?
6)Inoltre ho il seguente dubbio: "Devo discutere il dominio di questa equazione di 2° accettando solo $ m!= 0 $ (m si trova al denominatore)?"
7)In questo caso dal sistema di intersezione sono giunto ad una equazione in y, ma sarebbe stato lo stesso effettuare la sostituzione e giungere ad un'equazione in x?
8)Infine, osservando l'equazione di 2° con parametro $ m $ non dovrei anche valutare l'eventuale annullarsi del termine $ a $ ? Ovvero un'equazione di secondo grado del tipo $ ay^2+by +c =0 $ nel caso di $ a=0 $ si ridurrebbe ad una equazione di primo grado. Devo o non devo fare anche questo discorso?
Come vedi le domande sono molte è per questo che ho preferito non fare ulteriore confusione postando un mio tentativo di soluzione sbagliato. Diciamo che fin dove ho scritto sono certo di quel che ho fatto. Ho bisogno di aiuto per completare il problema.
Per come l'hai scritta quella equazione, dev'essere \(\displaystyle m\ne0\)!
Sostituisci la \(\displaystyle y\), che i calcoli verranno più semplici... si vede ad occhio
Sostituisci la \(\displaystyle y\), che i calcoli verranno più semplici... si vede ad occhio
Sì ma non capisco: come ricavo m? 
E' proprio questo il mio problema.
Devo porre $ Delta =0$? Oppure risolvere trovando le due soluzioni dell'equazione di secondo grado?
Poi perdonami, ma se per te
Voglio dire, dato che sembra tu conosca la soluzione "Potresti gentilmente indicarmi come risolvere e qual'è il valore corretto di m?" te ne sarei infinitamente grato.
Sostituendo la y non mi sembra di semplificare, anzi:
$ (x-2)^2(m^2(x-2)^2+m^3(x-2)+2) = 0$
Da qui si ha lo stesso discorso di prima, il primo fattore è ovviamente nullo per $ x=2 $.
Il secondo adesso oltre ad essere un'equazione di 2° in x presenta anche un termine $ m^3 $
Ti ringrazio ugualmente del tempo che mi hai dedicato
E' proprio questo il mio problema.
Devo porre $ Delta =0$? Oppure risolvere trovando le due soluzioni dell'equazione di secondo grado?
Poi perdonami, ma se per te
"j18eos":per me non è così (altrimenti non chiederei aiuto...)
... si vede ad occhio
Voglio dire, dato che sembra tu conosca la soluzione "Potresti gentilmente indicarmi come risolvere e qual'è il valore corretto di m?" te ne sarei infinitamente grato.
Sostituendo la y non mi sembra di semplificare, anzi:
$ (x-2)^2(m^2(x-2)^2+m^3(x-2)+2) = 0$
Da qui si ha lo stesso discorso di prima, il primo fattore è ovviamente nullo per $ x=2 $.
Il secondo adesso oltre ad essere un'equazione di 2° in x presenta anche un termine $ m^3 $
Ti ringrazio ugualmente del tempo che mi hai dedicato
A conti fatti devi studiare il discriminante in \(\displaystyle m\) dell'equazione di II grado in \(\displaystyle x\):
\[
m^2(x^2+4-4x)+m^3(x-2)+2=0\\
m^2x^2+(m^3-4m^2)x+(-2m^3+4m^2+2)=0\\
\Delta(m)=(m^3-4m^2)^2-4m^2(-2m^3+4m^2+2)=\dots=m^2(m^4-8)=\dots=m^2\left(m-\sqrt[4]{8}\right)\left(m+\sqrt[4]{8}\right)(m^2+2\sqrt{2})
\]
distinguendo i tre casi del segno\nullità di \(\displaystyle\Delta(m)\)!
\[
m^2(x^2+4-4x)+m^3(x-2)+2=0\\
m^2x^2+(m^3-4m^2)x+(-2m^3+4m^2+2)=0\\
\Delta(m)=(m^3-4m^2)^2-4m^2(-2m^3+4m^2+2)=\dots=m^2(m^4-8)=\dots=m^2\left(m-\sqrt[4]{8}\right)\left(m+\sqrt[4]{8}\right)(m^2+2\sqrt{2})
\]
distinguendo i tre casi del segno\nullità di \(\displaystyle\Delta(m)\)!
Guarda, sei gentilissimo quindi ancora grazie 
!
(Per la cronaca ho postato anche su **** ma nulla vuoto assoluto, almeno qui qualcuno legge e tenta una risposta)
Ho letto quanto dici però non mi convince per diversi motivi:
1) Conosco il risultato (anche se non so come arrivarci) e non è quello esposto
2) Discutere i tre casi non mi sembra corretto (diciamo che mi sembra inutile più che altro)
3) Si tratta di 1/4 di 1 esercizio di esame: la soluzione alla domanda del topic non può essere eccessivamente laboriosa
Io comunque tornerei alla sostituzione iniziale, che i sembra molto più umana e compatta:
$ y^2(y^2/m^2+y+2/m^2)=0 $
Le tangenti al punto non dipendono da "m", bensì il contrario: dal fascio devo estrarre le rette tangenti (quindi devo estrarre il giusto "m" per intenderci)
Sono io che devo trovare le tangenti alla curva nel punto dato, voglio dire che non posso ottenere diversi valori per il coefficiente angolare m in virtù di una discussione (spero di essermi spiegato).
Il $Delta$ che si ottiene in questo caso è:
$Delta=1-8/m^4$
Porlo identicamente nullo e ricavare $m$ porta ad una soluzione errata.
La soluzione infatti dice che nel punto le tangenti sono reali e coincidenti: cuspide di I specie
Torno quindi alla domanda: "Come si studia la curva nel punto assegnato utilizzando il fascio di rette?"
Ancora grazie a chiunque voglia unirsi a questa crociata...
! (Per la cronaca ho postato anche su **** ma nulla vuoto assoluto, almeno qui qualcuno legge e tenta una risposta)
Ho letto quanto dici però non mi convince per diversi motivi:
1) Conosco il risultato (anche se non so come arrivarci) e non è quello esposto
2) Discutere i tre casi non mi sembra corretto (diciamo che mi sembra inutile più che altro)
3) Si tratta di 1/4 di 1 esercizio di esame: la soluzione alla domanda del topic non può essere eccessivamente laboriosa
Io comunque tornerei alla sostituzione iniziale, che i sembra molto più umana e compatta:
$ y^2(y^2/m^2+y+2/m^2)=0 $
Le tangenti al punto non dipendono da "m", bensì il contrario: dal fascio devo estrarre le rette tangenti (quindi devo estrarre il giusto "m" per intenderci)
Sono io che devo trovare le tangenti alla curva nel punto dato, voglio dire che non posso ottenere diversi valori per il coefficiente angolare m in virtù di una discussione (spero di essermi spiegato).
Il $Delta$ che si ottiene in questo caso è:
$Delta=1-8/m^4$
Porlo identicamente nullo e ricavare $m$ porta ad una soluzione errata.
La soluzione infatti dice che nel punto le tangenti sono reali e coincidenti: cuspide di I specie
Torno quindi alla domanda: "Come si studia la curva nel punto assegnato utilizzando il fascio di rette?"
Ancora grazie a chiunque voglia unirsi a questa crociata...
Veramente sei tu che sbagli! 
In quella maniera escludi che l'asse delle ascisse possa essere tangente alla data curva cubica.
In quella maniera escludi che l'asse delle ascisse possa essere tangente alla data curva cubica.
Credo di aver risolto, domani posto la soluzione. Comunque non capisco cosa intendi, ovvero io devo trovare il coefficiente che garantisce la tangenza, non devo discutere nulla.
Se il punto fosse un punto semplice (non singolare e quindi) tutto si risolverebbe azzerando il determinate che garantisce la tangenza, ma questo è caso (semplice) dove retta e curva sono tangenti in un punto di molteplicità nota (in base all'ordine della curva) (tutte le intersezioni sono assorbite da un'unica soluzione).
La mia situazione è quella di avere un punto singolare doppio (molteplicità 2) di cui trovare le tangenti principali.
Se il punto fosse un punto semplice (non singolare e quindi) tutto si risolverebbe azzerando il determinate che garantisce la tangenza, ma questo è caso (semplice) dove retta e curva sono tangenti in un punto di molteplicità nota (in base all'ordine della curva) (tutte le intersezioni sono assorbite da un'unica soluzione).
La mia situazione è quella di avere un punto singolare doppio (molteplicità 2) di cui trovare le tangenti principali.
"giovanni1234":Tu scrivi:
...Comunque non capisco cosa intendi...
\[
\Delta(m)=1-\frac{8}{m^4}
\]
e tale espressione ha senso se e solo se \(\displaystyle m\ne0\); quindi escludi che la retta \(\displaystyle y=0\) possa essere una tangente in \(\displaystyle(2,0)\) alla data curva!
Guarda, non voglio insistere, ma lo faccio 
1)La discussione del determinante non c'entra assolutamente nulla. Al massimo si tratta di azzerare il $Delta$, ma questo si fa solo per lo studio delle coniche (curve di ordine 2), dove imponendo il $Delta=0$ si trovano praticamente le tangenti (o meglio la tangente)
2)Il problema si risolve imponendo la molteplicità delle soluzioni
3)L'uso del fascio è assolutamente consentito, certo il fascio non prende in considerazione la retta x=2 (in questo caso)
4)La retta y=0 è l'asse delle x e non c'entra una cippa
5)Il valore $m=0$ va scartato poiché (come hai detto anche tu) non è nel dominio del sistema curva-fascio
Il punto in analisi è un punto doppio per la curva (molteplicità 2) le tangenti principali si trovano imponendo che il sistema di intersezione abbia molteplicità almeno 3. L'intersezione con il fascio fornisce l'equazione:
$ y^2(y^2/m^2+y+2/m^2)=0 $
Per prima cosa scarto i valori $m=0$.
Adesso questa, essendo un prodotto di due termini, si verifica quando
${ ( y^2=0 ),( vvv ),( y^2/m^2+y+2/m^2=0 ):}$
La prima fornisce valori
$y=0$ con molteplicità 2
Affinché si possa trovare la tangente principale in quel punto si deve imporre una molteplicità superiore a 2.
Quindi $y=0$ avrà almeno molteplicità 3 se è soluzione anche del secondo termine
$(y^2/m^2+y+2/m^2)=0$
Si risolve l'equazione trovando i valori di y (ne riporto solo uno qui)
$y_1=(√(m^4 - 8) - m^2)/2$
E imponendo la soluzione precedete per aumentarne la molteplicità rispetto al sistema intersezione
$0=(√(m^4 - 8) - m^2)/2$
Questa, come si vede, non sarà mai verificata, cioè non esiste nessun valore di $m$ che la soddisfa.
Allora? Che si fa? Il fatto è che il fascio (per definizione) non prende in considerazione tutte le rette per il punto $(2,0)$, ma esclude, da queste, la retta con coefficiente angolare infinito, ovvero nel nostro caso la retta di equazione
$x=2$
Questa allora dovrà essere studiata intersecandola con la curva, il sistema intersezione curva-retta è:
${ ( y^2(x-2)^2+y^3+2(x-2)^2=0 ),( x=2):}$
Da cui
$y^3=0$
Questa ha molteplicità 3 per $y=0$ il che significa due cose:
1) Per la retta x=2 passa una/la tangente principale
2)Il punto essendo un punto singolare doppio per la curva e molteplicità di intersezione 3 con la tangente è una cuspide
Posto anche il grafico
1)La discussione del determinante non c'entra assolutamente nulla. Al massimo si tratta di azzerare il $Delta$, ma questo si fa solo per lo studio delle coniche (curve di ordine 2), dove imponendo il $Delta=0$ si trovano praticamente le tangenti (o meglio la tangente)
2)Il problema si risolve imponendo la molteplicità delle soluzioni
3)L'uso del fascio è assolutamente consentito, certo il fascio non prende in considerazione la retta x=2 (in questo caso)
4)La retta y=0 è l'asse delle x e non c'entra una cippa
5)Il valore $m=0$ va scartato poiché (come hai detto anche tu) non è nel dominio del sistema curva-fascio
Il punto in analisi è un punto doppio per la curva (molteplicità 2) le tangenti principali si trovano imponendo che il sistema di intersezione abbia molteplicità almeno 3. L'intersezione con il fascio fornisce l'equazione:
$ y^2(y^2/m^2+y+2/m^2)=0 $
Per prima cosa scarto i valori $m=0$.
Adesso questa, essendo un prodotto di due termini, si verifica quando
${ ( y^2=0 ),( vvv ),( y^2/m^2+y+2/m^2=0 ):}$
La prima fornisce valori
$y=0$ con molteplicità 2
Affinché si possa trovare la tangente principale in quel punto si deve imporre una molteplicità superiore a 2.
Quindi $y=0$ avrà almeno molteplicità 3 se è soluzione anche del secondo termine
$(y^2/m^2+y+2/m^2)=0$
Si risolve l'equazione trovando i valori di y (ne riporto solo uno qui)
$y_1=(√(m^4 - 8) - m^2)/2$
E imponendo la soluzione precedete per aumentarne la molteplicità rispetto al sistema intersezione
$0=(√(m^4 - 8) - m^2)/2$
Questa, come si vede, non sarà mai verificata, cioè non esiste nessun valore di $m$ che la soddisfa.
Allora? Che si fa? Il fatto è che il fascio (per definizione) non prende in considerazione tutte le rette per il punto $(2,0)$, ma esclude, da queste, la retta con coefficiente angolare infinito, ovvero nel nostro caso la retta di equazione
$x=2$
Questa allora dovrà essere studiata intersecandola con la curva, il sistema intersezione curva-retta è:
${ ( y^2(x-2)^2+y^3+2(x-2)^2=0 ),( x=2):}$
Da cui
$y^3=0$
Questa ha molteplicità 3 per $y=0$ il che significa due cose:
1) Per la retta x=2 passa una/la tangente principale
2)Il punto essendo un punto singolare doppio per la curva e molteplicità di intersezione 3 con la tangente è una cuspide
Posto anche il grafico
Saresti giunto alle medesime conclusioni anche per la strada che ti indicavo.
Comunque, per come hai argomentato, è tutto corretto!
Comunque, per come hai argomentato, è tutto corretto!
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