Studio completo iperbole equilatera

[mbistato]

Ciao,

Sto studiando il seguente fascio di coniche $$x^2-ky^2+2kxy-4=0$$ al variare del parametro $k$.
Per $k=1$, trovo la seguente iperbole equilatera: $$x^2-y^2+2xy-4=0$$.
Per studiarla (trovare fuochi, vertici e asintoti) ho ragionato su come riscriverla dapprima in forma canonica, ossia:
$$x^2-y^2=\pm a^2$$
ma non sono riuscito.
Avete qualche idea?

[Bokonon]

Scrivi la matrice simmetrica A associata alla quadrica (visto che non ci sono termini di primo grado tanto vale analizzare solo la matrice ridotta 2x2 dei termini quadratici)
Trova autovalori ed autovettori e normalizza quest'ultimi per ottenere la tua matrice ortogonale Q e la matrice diagonale S.
Dato che $A=QSQ^T rArr ( x \ \ y ) A( ( x ),( y ) ) =( x \ \ y )QSQ^T( ( x ),( y ) )=[Q^T( ( x ),( y ) )]^TS[Q^T( ( x ),( y ) )] $
Ponendo $Q^T( ( x ),( y ) )=( ( v ),( w ) ) rArr ( ( x ),( y ) )=Q( ( v ),( w ) )$
Ti verrà fuori $ S=( ( sqrt2 , 0),( 0 , -sqrt(2) ) ) $ e $ Q=1/2( ( sqrt(2+sqrt(2)) , -sqrt(2-sqrt(2)) ),( sqrt(2-sqrt(2)) , sqrt(2+sqrt(2)) ) ) $

La forma canonica pertanto è $( v \ \ w ) S( ( v ),( w ) )-4=0 rArr v^2/(2sqrt(2))-w^2/(2sqrt(2))=1$
E la forma canonica si raggiunge ANCHE con le trasformazioni $( ( x ),( y ) )=Q( ( v ),( w ) )$ ovvero:
$ { ( x=(sqrt(2+sqrt(2))v-sqrt(2-sqrt(2))w)/2 ),( y=(sqrt(2-sqrt(2))v+sqrt(2+sqrt(2))w)/2 ):} $

[gugo82]

"mbistato":Per $k=1$, trovo la seguente iperbole equilatera: $$x^2-y^2+2xy-4=0$$.
Per studiarla (trovare fuochi, vertici e asintoti) ho ragionato su come riscriverla dapprima in forma canonica, ossia:
$$x^2-y^2=\pm a^2$$
ma non sono riuscito.
Avete qualche idea?

Sono anni che non faccio esercizi sulle coniche, ma credo che manipolazioni elementari (di quelle che si insegnano alle superiori) possano tornarti utili... Hai:

$x^2 + 2xy - y^2 - 4 = (x+y)^2 - 2y^2 - 4 = (x+y)^2 - (y/sqrt(2))^2 - 4$,

sicché, posto:

(*) $\{(X = x + y), (Y = y/sqrt(2)):}$

l'equazione della tua iperbole diventa:

$X^2 - Y^2 = 2^2$.

Di qui dovresti poter ricavare ciò che ti serve.

[@melia]

Resta comunque il fatto che l'iperbole trovata da mbistato NON è equilatera, infatti per farla diventare equilatera gugo ha dovo applicare una dilatazione.

[Bokonon]

"@melia":Resta comunque il fatto che l'iperbole trovata da mbistato NON è equilatera, infatti per farla diventare equilatera gugo ha dovo applicare una dilatazione.

Si che l'iperbole originale è equilatera @melia
https://www.desmos.com/calculator/sk0rik0at0

L'assenza dei termini in x e y significa che è simmetrica rispetto all'origine, pertanto basta trovare la rotazione corretta. Dopo la rotazione abbiamo che i termini $a^2=b^2$ pertanto è effettivamente equilatera.

Gugo invece ha modificato la distanza fra i fuochi (cambiando la scala della Y) per rendere equilatera un'iperbole che dopo la trasformazione non lo era più. La distanza fra i fuochi è pari a $2ksqrt(2)$ dove il k corretto non è $k=2$ ma bensì $k=sqrt(2sqrt(2))$
In generale, lo studio delle coniche tramite l'algebra lineare implica che la trasformazione è composta da una traslazione e da una rotazione. Le altre trasformazioni modificano la conica stessa.