Studiare un sistema lineare al variare del parametro k
ciao a tutti,
oggi ho fatto l'esame di distreta.
un esercizio che mi ha lasciato disorientato è il seguente:
Ok, ne ho fatti molti di questi e insomma so di cosa si tratta, so farlo e so interprettare le risposte.
tuttavvia questa volta ... è successp qualcosa di strano. Vediamo l'esercizio:
$\Sistema = {(ky + w = 0), (2x + ky + 4z + (k+2)w = 0), (y + 3z + 4w = 0), (x + 2z + 2w = 0):}$
ora ne scrivo la matrice $A$ associata:
$A = ((0,k,0,1,0), (2,k,4,k+2,0), (0,1,3,4,0),(1,0,2,2,0))$ scambio la prima riga con la secoda ed ottengo:
$A = ((2,k,4,k+2,0), (0,k,0,1,0), (0,1,3,4,0),(1,0,2,2,0))$ sostituisco alla seconda riga la prima - due volte la seconda ($IV = I - 2*IV$ <- num romani) ed ottengo:
$A = ((2,k,4,k+2,0), (0,k,0,1,0), (0,1,3,4,0),(0,k,0,k-2,0))$ da cui eseguo: $III = II - k*III$ ed anche $IV = II - IV$ ed ottengo:
$A = ((2,k,4,k+2,0), (0,k,0,1,0), (0,0,-3k,-4k+1,0),(0,0,0,-k+3,0))$ ora la mat è a scala e quindi posso torarmi fuori le incognite ... ottengo:
$\Sistema = {(2x + ky + 4z + (k+2)w = 0), (ky + w = 0), (-3kz + (-4k+1)w = 0), ((-k+3)w = 0):}$
da cui ottengo la $w$ così faccendo: $w = 0/(-k+3) = 0$ poi la $-3kz + (-4k+1)w = 0$,
dato che $w = 0$ ottengo $-3kz = 0 => z = 0/(-3k) = 0$,
poi sostituisco i valori nell'equazione sopra e ottengo $ky + 0 = 0 => y = 0/k = 0$,
in fine sostituisco il tutto nella prima riga: $2x + k*0 + 4*0 + (k+2)*0 = 0 => x = 0/2 = 0$.
quindi ottengo un vettore soluzioni così: $v = ((0),(0),(0),(0))$. io che non sono un genio, nemeno lontaneamente mi chiedo ... se lo spazio delle soluzioni è i lvettore nullo, come fanno i vettori della mia matrice ad essere indipendenti? poi... il teorema di Rouchè-Capelli dice che: Esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta. Nel mio caso si ... il rango è 4 in ambedue i casi. Allora dove sono le mie soluzioni ?
dove ho sbagliato ragazzi ... ?data l'ora tarda spero di non aver sbagliato a scrivere !
grazie a tutti, ciao
oggi ho fatto l'esame di distreta.
un esercizio che mi ha lasciato disorientato è il seguente:
Studiare il sistema lineare nelle incognite $(x, y, z, w)$ al variare del parametro k.
Ok, ne ho fatti molti di questi e insomma so di cosa si tratta, so farlo e so interprettare le risposte.
tuttavvia questa volta ... è successp qualcosa di strano. Vediamo l'esercizio:
$\Sistema = {(ky + w = 0), (2x + ky + 4z + (k+2)w = 0), (y + 3z + 4w = 0), (x + 2z + 2w = 0):}$
ora ne scrivo la matrice $A$ associata:
$A = ((0,k,0,1,0), (2,k,4,k+2,0), (0,1,3,4,0),(1,0,2,2,0))$ scambio la prima riga con la secoda ed ottengo:
$A = ((2,k,4,k+2,0), (0,k,0,1,0), (0,1,3,4,0),(1,0,2,2,0))$ sostituisco alla seconda riga la prima - due volte la seconda ($IV = I - 2*IV$ <- num romani) ed ottengo:
$A = ((2,k,4,k+2,0), (0,k,0,1,0), (0,1,3,4,0),(0,k,0,k-2,0))$ da cui eseguo: $III = II - k*III$ ed anche $IV = II - IV$ ed ottengo:
$A = ((2,k,4,k+2,0), (0,k,0,1,0), (0,0,-3k,-4k+1,0),(0,0,0,-k+3,0))$ ora la mat è a scala e quindi posso torarmi fuori le incognite ... ottengo:
$\Sistema = {(2x + ky + 4z + (k+2)w = 0), (ky + w = 0), (-3kz + (-4k+1)w = 0), ((-k+3)w = 0):}$
da cui ottengo la $w$ così faccendo: $w = 0/(-k+3) = 0$ poi la $-3kz + (-4k+1)w = 0$,
dato che $w = 0$ ottengo $-3kz = 0 => z = 0/(-3k) = 0$,
poi sostituisco i valori nell'equazione sopra e ottengo $ky + 0 = 0 => y = 0/k = 0$,
in fine sostituisco il tutto nella prima riga: $2x + k*0 + 4*0 + (k+2)*0 = 0 => x = 0/2 = 0$.
quindi ottengo un vettore soluzioni così: $v = ((0),(0),(0),(0))$. io che non sono un genio, nemeno lontaneamente mi chiedo ... se lo spazio delle soluzioni è i lvettore nullo, come fanno i vettori della mia matrice ad essere indipendenti? poi... il teorema di Rouchè-Capelli dice che: Esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta. Nel mio caso si ... il rango è 4 in ambedue i casi. Allora dove sono le mie soluzioni ?
dove ho sbagliato ragazzi ... ?data l'ora tarda spero di non aver sbagliato a scrivere !
grazie a tutti, ciao
Risposte
"Sergio":
Hai semplicemente ottenuto la soluzione banale. Il vettore nullo è soluzione di qualsiasi sistema omogeneo.
gia', la soluzione banale mi facceva capire di aver cannato qualcosa ..
"Sergio":
Ma chi ti dice che il rango della matrice sia 4?
L'esercizio ti chiede di studiare il sistema al variare di $k$.
Non ho fatto tutti i conti, ma si vede anche a occhio che se $k=0$ il rango è 3.
studiando la matrice associata, ottengo 4 vett linearmente indipendenti ... e questo dovrebbe eessere il rango !!
in ogni caso ... come faccio ad ottenere anche le soluzioni non banali ?
PS: nella foto nel tuo avatar sembri Tony Bourdain (o come si scrive
)
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