Studiare la semplicità di una funzione
Buongiorno ragazzi, avrei un problema per quando riguarda lo studio della semplicità,vi riporto il testo:
dato l-endomorfismo $ f:mathbb(R^3 rarr R^3) $ associato, rispetto alle basi canoniche, alla matrice $( ( 3 , h,-h ),( 2 , 0 , 1 ),( h , 0 , 1 ) ) $
Nerl caso $h = 0$ studiare la semplicità della f e trovare eventualmente una base di auto vettori.
MI hanno spiegato che si aggiunge $-t$ alla diagonale principale, si calcola il determinante, che in questo caso e' $(2-t)(1-t) (-t)$, si trova la t nei tre casi, in questo caso vale $t=2, t=1 t=0$ (quando troviamo 3 autovalori distinti l-endomorfismo e semplice?) infine si sceglie $ t = 0 $ si riscrive la matrice si risolve il sistema associato e le soluzioni saranno la base di autovettori. Giusto ??? il secondo mio dubbio, quando non si trova una base di autovettori ??? Spero di essere stato chiaro, buona giornata e grazie mille anticipatamente.
dato l-endomorfismo $ f:mathbb(R^3 rarr R^3) $ associato, rispetto alle basi canoniche, alla matrice $( ( 3 , h,-h ),( 2 , 0 , 1 ),( h , 0 , 1 ) ) $
Nerl caso $h = 0$ studiare la semplicità della f e trovare eventualmente una base di auto vettori.
MI hanno spiegato che si aggiunge $-t$ alla diagonale principale, si calcola il determinante, che in questo caso e' $(2-t)(1-t) (-t)$, si trova la t nei tre casi, in questo caso vale $t=2, t=1 t=0$ (quando troviamo 3 autovalori distinti l-endomorfismo e semplice?) infine si sceglie $ t = 0 $ si riscrive la matrice si risolve il sistema associato e le soluzioni saranno la base di autovettori. Giusto ??? il secondo mio dubbio, quando non si trova una base di autovettori ??? Spero di essere stato chiaro, buona giornata e grazie mille anticipatamente.
Risposte
Ciao, la prima cosa che ti serve sapere è la definizione di polinomio caratteristico di una matrice. Data una matrice quadrata $A$ il suo polinomio caratteristico è dato da $$\chi_A(\lambda) = \text{det}\left[A-\lambda I\right]$$ dove $I$ è una matrice identità di dimensione opportuna. In effetti questo significa aggiungere $-\lambda$ sulla diagonale e calcolare il determinante.
Poi la definizione di autovalori. Gli autovalori di una matrice $A$ sono dati dalle radici del suo polinomio caratteristico, quindi dalle soluzioni di $$\chi_A(\lambda) = 0$$ Questa equazione ti darà una serie di autovalori $$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$$ per ognuno dei quali dovrai trovare gli autovettori associati.
Si definisce autovettore di $A$ relativo all'autovalore \(\lambda^*\) un vettore tale che $$Av = \lambda^* v$$ Quindi $$(A-\lambda^* I)v = 0$$ E questo significa risolvere il sistema lineare omogeneo che ha come matrice dei coefficienti $$A-\lambda^* I$$
E' un po' più chiaro?
Poi la definizione di autovalori. Gli autovalori di una matrice $A$ sono dati dalle radici del suo polinomio caratteristico, quindi dalle soluzioni di $$\chi_A(\lambda) = 0$$ Questa equazione ti darà una serie di autovalori $$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$$ per ognuno dei quali dovrai trovare gli autovettori associati.
Si definisce autovettore di $A$ relativo all'autovalore \(\lambda^*\) un vettore tale che $$Av = \lambda^* v$$ Quindi $$(A-\lambda^* I)v = 0$$ E questo significa risolvere il sistema lineare omogeneo che ha come matrice dei coefficienti $$A-\lambda^* I$$
E' un po' più chiaro?
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