Studiare la restrizione di f al sottospazio W
Sia $f : R^4 ->R^4$ l’endomorfismo definito dalle relazioni :
$f (e1) = v1, f (e2) = v2, f (e3) = 3v1 − v2, f (e4) = 2v1 + v2$
dove $(e1, e2, e3, e4)$ è la base canonica di $R4$, e $v1 = (1, 1, 1, 0), v2 = (0, 1, 2, 1).$
Come da oggetto :
Studiare la restrizione di $f$ al sottospazio $W ={(x, y, z,w) in R^4 | 2x − 3y + z + w = 0}$
Ragionamento (forse errato?):
Dopo aver ricavato la relazione : $f(x, y, z,w) = (x + 3z + 2w, x + y + 2z + 3w, x + 2y + z + 4w, y − z + w)$, dovrei trovare una base di $W$, calcolarne le immagini e verificare se queste soddisfano le equazioni.
Domanda numero uno : come trovo una base di $W$?
Domanda numero due : Dopo aver verificato se soddisfano le equazioni, c'è qualcos'altro da fare?
Scusate l'ignoranza,
a presto.
L.
$f (e1) = v1, f (e2) = v2, f (e3) = 3v1 − v2, f (e4) = 2v1 + v2$
dove $(e1, e2, e3, e4)$ è la base canonica di $R4$, e $v1 = (1, 1, 1, 0), v2 = (0, 1, 2, 1).$
Come da oggetto :
Studiare la restrizione di $f$ al sottospazio $W ={(x, y, z,w) in R^4 | 2x − 3y + z + w = 0}$
Ragionamento (forse errato?):
Dopo aver ricavato la relazione : $f(x, y, z,w) = (x + 3z + 2w, x + y + 2z + 3w, x + 2y + z + 4w, y − z + w)$, dovrei trovare una base di $W$, calcolarne le immagini e verificare se queste soddisfano le equazioni.
Domanda numero uno : come trovo una base di $W$?
Domanda numero due : Dopo aver verificato se soddisfano le equazioni, c'è qualcos'altro da fare?
Scusate l'ignoranza,
a presto.
L.
Risposte
"loki22":
Studiare la restrizione di $f$ al sottospazio $W ={(x, y, z,w) in R^4 | 2x − 3y + z + w = 0}$
Per prima cosa ricava la $z$ (o la $w$) in funzione delle altre variabili.
Perfetto, ottengo così $ z=-2x+3y-w$ che essendo una sola equazione in 4 incognite mi da come risultato $(x,y,-2x+3y-w,w)$
Per trovare una base dovrei a questo punto assegnare 1,0 rispettivamente alle variabili, ottenendo in questo caso :
$w1=(1,0,-2,0) w2=(0,1,3,0) w3=(0,0,-1,1)$
A parte i conti, che spero siano giusti, il procedimento è questo? O sto facendo confusione con qualcos'altro? Mi sono perso
Per trovare una base dovrei a questo punto assegnare 1,0 rispettivamente alle variabili, ottenendo in questo caso :
$w1=(1,0,-2,0) w2=(0,1,3,0) w3=(0,0,-1,1)$
A parte i conti, che spero siano giusti, il procedimento è questo? O sto facendo confusione con qualcos'altro? Mi sono perso
sì è giusto.
Ora basta che applichi la definizione di applicazione lineare: $f(w_1)=f(e_1)-2f(e_3)$
e così via!
Ora basta che applichi la definizione di applicazione lineare: $f(w_1)=f(e_1)-2f(e_3)$
e così via!
..e trovando la matrice associata diventa una passeggiata studiare la restrizione! (almeno si spera)
Grazie 1000
a presto!!
Grazie 1000
a presto!!
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