Studiare il seguente sistema al variare di h!!

[Piggy1]

Salve ragazzi volevo chiedervi come risolvere questo tipo di esercizio e se possibile illustrarmi i procedimenti che portano alla soluzione . Dato il sistema:

$\{(3x + hy + z = 1),(hx + y = 1),(y + hz = 1):}$

Si discuta il seguente sistema al variare del parametro h, e se ne determinino le soluzioni nei casi di compatibilita'.Grazie a tutti in anticipo aspetto vostre risposte!

[dav892111]

puoi applicare il teorema di rusce-capelli(non so se ho sbagliato a scrivere):
ti studi il determinante della matrice incompleta:
$ ( ( 3 , h , 1 ),( h , 1 , 0 ),( 0 , 0 , h ) ) $
il determinante è uguale a zero se h è uguale a 0,3,-3
quindi vedi quando h è 0,3,-3 il rango della matrice completa e incompleta e applichi il teorema di capelli

[Piggy1]

grazie mille dav!! mica potresti spiegarmi l'applicazione di questo teorema??

[dav892111]

allora la matrice incompleta è la matrice senza i termini noti viceversa la completa è quella che comprende quella con i termini noti.
il teorema ci dice:
(chiamero A=matrice incompleta A'=matrice incompleta)
se il r(A)=r(A')=n(cioè rango massimo) il sistema ha 1 soluzione
se il r(A)=r(A')=h(cioè rango non massimo)il sistema avra infinite^n-h soluzioni
sei r(A) $ != $ r(A') il sistema non ha soluzioni


nel tuo caso facendo il determinante ti viene che il determinante è uguale a 0 se h=0,3,-3
quindi il determinante ci dice che il rango non sarà massimo per h=0,3,-3
una volta fatto questo tu sai che se h diverso da 0,3,-3 r(A)=r(A')=n quindi 1 soluzione
mentre per h=0,3,-3 devi sostituire uno per volta(nella matrice completa e incompleta )per paragonare il rango delle 2 matrici
ti è chiaro?

[Piggy1]

non so come ringraziarti ora va molto meglio!!! grazie mille

[Piggy1]

ma non c'e un modo piu veloce per confrontare i ranghi oltre quello della sostituzione??

[dav892111]

scusami ho sbagliato una cosa il determinante viene 0 se h è uguale a $ 0,sqrt(3),-sqrt(3) $