Studiare al variare dei parametri a, b il sistema lineare
Salve a tutti, chi sarebbe così gentile da aiutarmi nello svolgimento di questo esercizio? non riesco proprio a capire da dove cominciare, ho cercato on line ma senza nessun risultato.
Studiare al variare dei parametri a,b Appartenenti a R la risolubilità del sistema lineare
ax+2y=b
x+y+(a-2)z=2a
Grazie mille in anticipo a chi mi darà una mano.
Studiare al variare dei parametri a,b Appartenenti a R la risolubilità del sistema lineare
ax+2y=b
x+y+(a-2)z=2a
Grazie mille in anticipo a chi mi darà una mano.
Risposte
benvenuto nel forum.
di solito si ricorre ai determinanti (se non si procede in maniera diretta nella ricerca delle soluzioni).
qui hai due equazioni e tre incognite. io sono fuori esercizio, però mi ricordo che si applica il teorema di Rouché-Capelli.
ti trovi?
di solito si ricorre ai determinanti (se non si procede in maniera diretta nella ricerca delle soluzioni).
qui hai due equazioni e tre incognite. io sono fuori esercizio, però mi ricordo che si applica il teorema di Rouché-Capelli.
ti trovi?
ciao grazie della risposta, avevo pensato a Rouché-Capelli, ma non riesco a capire come sfruttarlo, la matrice completa mi uscirà di 4 colonne per 2 righe, quale utilizzo??
il rango sai cos'è?
il teorema richiamato dice che il sistema è possibile (ammette soluzioni) se le due matrici di cui parli hanno lo stesso rango.
il teorema richiamato dice che il sistema è possibile (ammette soluzioni) se le due matrici di cui parli hanno lo stesso rango.
certo che so cosa è il rango, è il numero delle righe non completamente nulle di una matrice , nel nostro sistema se il rango della matrice iniziale ( senza termine noto) è minore della matrice completa il sistema diventa incompatibile, ma non è il nostro caso, quindi di sicuro io devo avere due matrici il cui rango è uguale per tutte e due , quali righe mi dici di scegliere??
No, almeno non quello di cui parla il teorema, non credo però che abbiano dato lo stesso nome a quello che dici tu.
Rango è l'ordine del più grande minore non nullo.
Dunque se la matrice più piccola ha rango due, allora anche l'altra ha rango due.
i determinanti dei tre minori della prima sono $D_1=a-2, D_2=a(a-2), D_3=2(a-2)$, dunque la matrice ha rango 2 se $a!=2$, ed in tal caso il sistema ha soluzioni;
nel caso $a=2$ i tre minori di ordine due costituiti con i termini noti (colonna aggiunta) si annullano contemporaneamente solo per $b=8$ (stiamo considerando $a=2$), dunque la matrice completa ha comunque rango due se $a!=2$ (caso in cui anche l'altro rango è 2), oppure se $a=2 ^^ b!=8$ (caso in cui l'altro rango è 1,per cui il sistema è impossibile).
Nel caso $a=2 ^^ b=8$, infine, il rango di entrambe le matrici è 1 perché ci sono numeri diversi da zero non dipendenti da alcun parametro.
Ricontrolla i conti, ma prima rivediti la definizione di rango.
OK?
Rango è l'ordine del più grande minore non nullo.
Dunque se la matrice più piccola ha rango due, allora anche l'altra ha rango due.
i determinanti dei tre minori della prima sono $D_1=a-2, D_2=a(a-2), D_3=2(a-2)$, dunque la matrice ha rango 2 se $a!=2$, ed in tal caso il sistema ha soluzioni;
nel caso $a=2$ i tre minori di ordine due costituiti con i termini noti (colonna aggiunta) si annullano contemporaneamente solo per $b=8$ (stiamo considerando $a=2$), dunque la matrice completa ha comunque rango due se $a!=2$ (caso in cui anche l'altro rango è 2), oppure se $a=2 ^^ b!=8$ (caso in cui l'altro rango è 1,per cui il sistema è impossibile).
Nel caso $a=2 ^^ b=8$, infine, il rango di entrambe le matrici è 1 perché ci sono numeri diversi da zero non dipendenti da alcun parametro.
Ricontrolla i conti, ma prima rivediti la definizione di rango.
OK?
La matrice del sistema, con opportune riduzioni di Gauss è:
$((1,1,a-2,2a),(0,2-a,a(2-a),b-2a^2))$
Per $a!=2$ il rango della completa e incompleta sono entrambi $2$ per qualsiasi valore di $b$, pertanto vi sono sempre soluzioni per $a!=2$.
Per $a=2$ il rango della incompleta è $1$. Il rango della completa è $1$ se e solo se $b-2a^2=0$, da cui $b=8$, pertanto per $a=2$ e $b=8$ vi sono soluzioni.
$((1,1,a-2,2a),(0,2-a,a(2-a),b-2a^2))$
Per $a!=2$ il rango della completa e incompleta sono entrambi $2$ per qualsiasi valore di $b$, pertanto vi sono sempre soluzioni per $a!=2$.
Per $a=2$ il rango della incompleta è $1$. Il rango della completa è $1$ se e solo se $b-2a^2=0$, da cui $b=8$, pertanto per $a=2$ e $b=8$ vi sono soluzioni.
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