Stranezza su norma di un vettore.
Stavo cercando di capire bene la proiezione ortogonale, quando utilizzando un esempio grafico (quindi in $R^3$) mi sono imbattuto in una stranezza da cui non sono riuscito a venirne a capo.
Supponiamo di voler trovare la proiezione ortogonale di un vettore $W =(2,2,2) in R^3$, sul piano di $R^2$,$V = {(x,y,z) | z= 0}$ quindi sul piano classico dove $z = 0$, affinchè vi sia una totale comprensione ho cercato quindi anche di trovare la proiezine ortogonale mediante il coseno/seno dell'angolo trail vettore $w$ ed il piano $V$.
Per costruzione l'angolo è di $45°$, pertanto la proiezione del vettore $w$ sul piando di $R^2$ non è altro, che il modulo cioè la norma di $w$ per il seno di $45°$ che è $sqrt(2)/2$. Pertando abbiamo che la lunghezza di di questo vettore è :
$|proj_v(w)| = |w|*sin (45°) = sqrt(2^2+2^2+2^2) * sqrt(2)/2 = sqrt(6)$.
possiamo vedere anche la proiezione ortogonale come l'ipotenusa del triangolo tra gli assi $x,y$ e pertando la sua lunghezza dovrebbe essere, sfruttando il teorema di Pitagora come $sqrt (2^2 +2^2) = 2 sqrt(2)$, essendo che i due cateti sono dati dalla componente $x$ e $y$ sul piano. Troviamo quindi che il vettore $proj_V(w) = (2,2,0)$
un ulteriore modo di vedere la proiezione ortogonale è quella di moltiplicare la norma del vettore per le basi ortonrmali che piano $V$,
Una base ortonormale del piano $V$ è $(1,0,0), (0,1,0)$ (base canonica), ricordando che il vettore $w =(2,2,2)$ abbiamo che il vettore
$proj_V (w) = ((2,2,2)o((1),(0),(0)))((1),(0),(0)) + ((2,2,2)o((0),(1),(0)))((0),(1),(0)) = ((2),(2),(0)) $ ,
la cui lunghezza cioè il modulo è ancora $|proj_v(w)| = 2sqrt(2)$
Inoltre anche nel caso in cui consideriamo il vettore $proj_V(w) = w - (w * n)n$ dove $n$ è un versore ortogonale a $V$, per
esempio $n = (0,0,1)$ allora anche in questo caso abbiamo $ ((2),(2),(2)) - ((2,2,2) o ((0),(0),(1)))((0),(0),(1)) = ((2),(2),(0))$
e la lunghezza è sempre $2sqrt(2)$
Mi chiedo dove sto sbagliando? Sto sbattendo la testa da ieri ma non riesco a venirne a capo.
Grazie a chi vorrà aiutarmi a venirne a capo.
Supponiamo di voler trovare la proiezione ortogonale di un vettore $W =(2,2,2) in R^3$, sul piano di $R^2$,$V = {(x,y,z) | z= 0}$ quindi sul piano classico dove $z = 0$, affinchè vi sia una totale comprensione ho cercato quindi anche di trovare la proiezine ortogonale mediante il coseno/seno dell'angolo trail vettore $w$ ed il piano $V$.
Per costruzione l'angolo è di $45°$, pertanto la proiezione del vettore $w$ sul piando di $R^2$ non è altro, che il modulo cioè la norma di $w$ per il seno di $45°$ che è $sqrt(2)/2$. Pertando abbiamo che la lunghezza di di questo vettore è :
$|proj_v(w)| = |w|*sin (45°) = sqrt(2^2+2^2+2^2) * sqrt(2)/2 = sqrt(6)$.
possiamo vedere anche la proiezione ortogonale come l'ipotenusa del triangolo tra gli assi $x,y$ e pertando la sua lunghezza dovrebbe essere, sfruttando il teorema di Pitagora come $sqrt (2^2 +2^2) = 2 sqrt(2)$, essendo che i due cateti sono dati dalla componente $x$ e $y$ sul piano. Troviamo quindi che il vettore $proj_V(w) = (2,2,0)$
un ulteriore modo di vedere la proiezione ortogonale è quella di moltiplicare la norma del vettore per le basi ortonrmali che piano $V$,
Una base ortonormale del piano $V$ è $(1,0,0), (0,1,0)$ (base canonica), ricordando che il vettore $w =(2,2,2)$ abbiamo che il vettore
$proj_V (w) = ((2,2,2)o((1),(0),(0)))((1),(0),(0)) + ((2,2,2)o((0),(1),(0)))((0),(1),(0)) = ((2),(2),(0)) $ ,
la cui lunghezza cioè il modulo è ancora $|proj_v(w)| = 2sqrt(2)$
Inoltre anche nel caso in cui consideriamo il vettore $proj_V(w) = w - (w * n)n$ dove $n$ è un versore ortogonale a $V$, per
esempio $n = (0,0,1)$ allora anche in questo caso abbiamo $ ((2),(2),(2)) - ((2,2,2) o ((0),(0),(1)))((0),(0),(1)) = ((2),(2),(0))$
e la lunghezza è sempre $2sqrt(2)$
Mi chiedo dove sto sbagliando? Sto sbattendo la testa da ieri ma non riesco a venirne a capo.
Grazie a chi vorrà aiutarmi a venirne a capo.
Risposte
Cercando sul web ho notato che si riscontrano anche li anomalie.
Per esempio, se la definizione di norma è $x in R^n$ allora $|x| = sqrt(x_1^2+ x_2^2+..................x_n^2)$
Ho trovato che se $x in R^3$ e vogliamo trovare la sua proiezione ortogonale sul piano $z = 0$ ecco che la sua norma diventa $x = sqrt(x_1^2 +x_2^2)$ e non $x = sqrt(x_1^2 +x_2^2+x_3^2)$
C'è qualcosa che non va, non riesco a capire perchè non riesco a far commutare le varie impostazioni geometriche del problema.
Per esempio, se la definizione di norma è $x in R^n$ allora $|x| = sqrt(x_1^2+ x_2^2+..................x_n^2)$
Ho trovato che se $x in R^3$ e vogliamo trovare la sua proiezione ortogonale sul piano $z = 0$ ecco che la sua norma diventa $x = sqrt(x_1^2 +x_2^2)$ e non $x = sqrt(x_1^2 +x_2^2+x_3^2)$
C'è qualcosa che non va, non riesco a capire perchè non riesco a far commutare le varie impostazioni geometriche del problema.
in \(\displaystyle \mathbb R^3 \) consideriamo il prodotto scalare standard \(\displaystyle \cdot \)
l'angolo \(\displaystyle \theta \) tra due vettori \(\displaystyle v,w \in \mathbb R^3 \) è definito da
\(\displaystyle \cos \theta=\frac{ v \cdot w }{\|v\|\|w\|} \)
nel caso \(\displaystyle v=(2,2,2),w=(2,2,0) \) risulta che $w$ è la proiezione di $v$ sul piano $z=0$
e che \(\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3} \)
in particolare \(\displaystyle \|w\|=\cos \theta \|v\|=2 \sqrt 2 \)
l'angolo \(\displaystyle \theta \) tra due vettori \(\displaystyle v,w \in \mathbb R^3 \) è definito da
\(\displaystyle \cos \theta=\frac{ v \cdot w }{\|v\|\|w\|} \)
nel caso \(\displaystyle v=(2,2,2),w=(2,2,0) \) risulta che $w$ è la proiezione di $v$ sul piano $z=0$
e che \(\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3} \)
in particolare \(\displaystyle \|w\|=\cos \theta \|v\|=2 \sqrt 2 \)
Se non ho capito male, ti stai disperando perché una volta il modulo della proiezione richiesta ti risulta uguale a $sqrt 6$
[nel primo caso] e un'altra ti viene $2 sqrt 2$ [negli altri due casi].
Se è così, ritengo che l'errore stia nel primo calcolo quando dici che l'angolo tra il vettore $w$ ed il piano V ($z=0$) è $45°$. In realtà tale angolo non è ${pi}/4$ e comunque la proiezione richiesta non è altro che la diagonale di un quadrato di lato uguale a 2 [fai la figura] ed è quindi pari a $2sqrt2$. Come deve essere.
P.S.
Ho risposto appena dopo Marco.Bre. Comunque lascio anche la mia risposta: "tiù meglio di uan !"
[nel primo caso] e un'altra ti viene $2 sqrt 2$ [negli altri due casi].
Se è così, ritengo che l'errore stia nel primo calcolo quando dici che l'angolo tra il vettore $w$ ed il piano V ($z=0$) è $45°$. In realtà tale angolo non è ${pi}/4$ e comunque la proiezione richiesta non è altro che la diagonale di un quadrato di lato uguale a 2 [fai la figura] ed è quindi pari a $2sqrt2$. Come deve essere.
P.S.
Ho risposto appena dopo Marco.Bre. Comunque lascio anche la mia risposta: "tiù meglio di uan !"
Grazie a tutti.
Come dire in questi casi, si impara dagli errori.
(a mia, parzialissima, discolpa
volevo solo dire che sono stato tratto in inganno da un file che considerava il modulo del vettore $(2,2,2)$ solo prendendo le componenti $x,y$) quindi all'errore sull'angolo che avevo pure considerato non avevo attribuito l'importanza necessaria).
Grazie ancora.
Emanuele
Come dire in questi casi, si impara dagli errori.
(a mia, parzialissima, discolpa
volevo solo dire che sono stato tratto in inganno da un file che considerava il modulo del vettore $(2,2,2)$ solo prendendo le componenti $x,y$) quindi all'errore sull'angolo che avevo pure considerato non avevo attribuito l'importanza necessaria).Grazie ancora.
Emanuele
a volte l'intuizione inganna, pertanto bisogna sempre avvalersi della teoria per confermare o negare le intuizioni
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