STRANEZZA su diagonalizzazione matrici SIMMETRICHE

[funny hill]

Buongiorno, il problema che capita(sempre) è il seguente:
(TUTTI I CALCOLI LI HO SVOLTI CON MATHEMATICA)supponiamo ad esempio di voler diagonalizzare:
A=$((3,-1,0,0),(-1,3,0,0),(0,0,4,1),(0,0,1,4))$
con i soliti passaggi sugli autovalori(vengono 5,4,3,2) ottengo la seguente base di autospazi:
{{0, 0, 1, 1}, {-1, 1, 0, 0}, {0, 0, -1, 1}, {1, 1, 0, 0}}
pertanto la matrice P tale che (P^-1)AP=D (con d matrice diagonale con autovalori nella diagonale) sarà:
P=$((0,-1,0,1),(0,1,0,1),(1,0,-1,0),(1,0,1,0))$
infatti svolgendo i calcoli si perviene alla matrice
D=$((5,0,0,0),(0,4,0,0),(0,0,3,0),(0,0,0,2))$
e l'esercizio sarebbe risolto.
PERO' il Teorema Spettrale dice che una matrice simmettrica si diagonalizza tramite una matrice ortogonale, infatti P è ortogonale, pertanto potrò fare Trasp

AP=D
ma sviluppando questo calcolo mi viene fuori la matrice D'
D'=$((10,0,0,0),(0,8,0,0),(0,0,6,0),(0,0,0,4))$ ovvero la matrice D moltiplicata per lo scalare 2.
Perchè succede questo???Sbaglio io o è sbagliato il teorema spettrale o quant'altro?

[Studente Anonimo]

Benvenuto nel forum.

"funny hill":P=$((0,-1,0,1),(0,1,0,1),(1,0,-1,0),(1,0,1,0))$
[...]
P è ortogonale

Edito: P è ortogonale ma non ortonormale.
Edito: sì ecco vedi quello che ha detto Sergio, basta intendersi su cosa vuol dire matrice ortogonale

[funny hill]

Grazie per il benvenuto e grazie per la risposta.
Credevo che l'univa definizione di matrice ortogonale fosse matrice A tale che A*Trasp[A]=I ovvero Trasp[A]=A^-1
infatti ho provato a normalizzare P ottendo:
P=P=$((0,$-1/$sqrt(2)$$,0,$1/$sqrt(2)$$),(0,$1/$sqrt(2)$$,0,$1/$sqrt(2)$$),($-1/$sqrt(2)$$,0,$1/$sqrt(2)$$,0),($1/$sqrt(2)$$,0,$1/$sqrt(2)$$,0))$
ho fatto Trsp

*A*P ma non ottengo una diagonale!
Aiutatemi!!

[Studente Anonimo]

"funny hill":ho provato a normalizzare P ottendo:
$P=((0,-1/sqrt(2),0,1/sqrt(2)),(0,1/sqrt(2),0,1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2),0,1/sqrt(2),0),(1/sqrt(2),0,1/sqrt(2),0))$
ho fatto Trsp

*A*P ma non ottengo una diagonale!

Impossibile: è lo stesso conto che hai già fatto a parte raccogliere due volte lo scalare $1/sqrt(2)$.

Osserva che rispetto a prima hai scambiato la prima e la terza colonna, senza un motivo.

[funny hill]

Lo scambio di colonne è stato un errore di scrittura nei calcoli le ho mantenute uguali comunque posso concludere che
$\frac{1}{\sqrt{2}}$Trasp

*A*$\frac{1}{\sqrt{2}}$P=Trasp[Pn]*A*Pn
con P la matrice P e con Pn la matrice P normalizzata
comunque i calcoli con mathematica non mi vengono!

[funny hill]

Ok ho provato a fare i calcoli con altri matrici simmetriche seguendo il vostro consiglio ovvero NORMALIZZANDO le colonne e in effetti vengono giusti.Però mi rimane un dubbio:
il teorema Spettrale non parla di matrici ortogonali con colonne Normalizzate(ma di matrici ortogonali) e allo stesso tempo non ho trovato da nessuna parte una definizione di matrice ortogonale in cui venga detto oltre a A*Trasp[A]=I ovvero Trasp[A]=A^-1 , le colonne debbano essere normalizzate.Come si spiega ciò?

[funny hill]

scusa sergio ma nei tuoi calcoli mi sembra che tu non abbia fatto altro che dividere la matrice ottenuta per 2 ovvero hai moltiplicato due volte per 1/sqrt(2).Se la matrice P fosse stata diversa(cioè vettori con norma diversa) la normalizzazione non sarebbe equivalsa ad una semplice divisione per sqrt(2).
(scusate sto impazzendo)

[funny hill]

ok ho capito vi ringrazio e chiudo il discorso
ciao!