Stella di rette

[miuemia]

se mi si chiede di determinare in $RR^3$ la stella di rette passanti per un punto dto come faccio a determinare le equazioni di tale stella?

[adaBTTLS1]

non vorrei sbagliare, ma credo che sia (anche se un parametro si può eliminare) $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, se il punto è $P(x_0,y_0,z_0)$.
EDIT: scusa, questi sono piani.
la stella di centro P ha queste equazioni:

$(x-x_0)/l=(y-y_0)/m=(z-z_0)/n$ al variare di l,m,n.

[miuemia]

ma quella che hai scritto è l'eqauzione di un piano e in generale una stella di rette non è un piano.... quella è la stella di piani per un punto.

[Camillo]

"adaBTTLS":non vorrei sbagliare, ma credo che sia (anche se un parametro si può eliminare) $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, se il punto è $P(x_0,y_0,z_0)$.

Questa non è l'equazione dei piani che passano per $ P( x_0,y_0,z_0)$ ?

Io propongo

$x=x_0+at ; y=y_0+bt ; z=z_0 +ct $ come equazione, in forma parametrica, della stella di rette di centro $P$

[adaBTTLS1]

sì, scusate, me ne sono accorta, e ho già corretto. ciao.

[Studente Anonimo]

Allora, ammesso che per "stella" tu intenda "fascio"...

Io direi: una retta passante per l'origine di direzione $(a,b,c)$ avrà un'espressione del tipo $t((a),(b),(c))$ al variare di $t in RR$. Da questo si ricava $x=at,y=bt$ e $z=ct$ e quindi

$bx=ay$
$cx=az$
$cy=bz$

sono le equazioni di una generica retta passante per l'origine (una delle tre sarà per forza dipendente dalle altre quindi superflua).

Quindi una generica retta passante per il punto $(x_0,y_0,z_0)$ avrà equazioni

$b(x-x_0)=a(y-y_0)$
$c(x-x_0)=a(z-z_0)$
$c(y-y_0)=b(z-z_0)$

(si può eliminare quella dipendente, che dipende dai valori $a,b,c$)

Ora una strategia migliore: si otteneva lo stesso risultato chiedendo alla seguente matrice di avere rango 1 (cioè alle colonne di essere proporzionali), annullando i minori di ordine 2.

$((a,x-x_0),(b,y-y_0),(c,z-z_0))

Questo è analogo al caso del fascio di rette nel piano, perché il fascio di rette nel piano passante per il punto $(x_0,y_0)$ si ottiene chiedendo alla seguente matrice di avere rango 1.

$((a,x-x_0),(b,y-y_0))$

In generale il fascio di rette per $P_0$ in $RR^n$ si ottiene chiedendo alla matrice $(bar(d),P-P_0)$ (dove $bar(d) ne 0$ è una arbitraria direzione) di avere rango 1 (cioè annullando i minori di ordine 2).