Stabilire un sottospazio
Ciao ragazzi,chi mi spiega come si fa questo esercizio ? Possibilmente con tutti i passaggi e le varie spiegazioni in modo tale da riuscire poi a risolvere da solo gli esercizi analoghi..Grazie
Stabilire se U = {(h,h+1,h): h ∈ R} un sottospazio di R^3,motivando la risposta.
Stabilire se U = {(h,h+1,h): h ∈ R} un sottospazio di R^3,motivando la risposta.
Risposte
@darakum,
domanda 1: "Cosa è un sottospazio?"
Verifica gli "assiomi"...
domanda 1: "Cosa è un sottospazio?"
Verifica gli "assiomi"...
"garnak.olegovitc":
@darakum,
domanda 1: "Cosa è un sottospazio?"
Verifica gli "assiomi"...
"darakum":
bando alle faccine, se stai pensando ti do un input, i tuoi "assiomi" da verificare sono:- \(0_{\Bbb{R}^3} \in U\)
- \( \forall x,y \in U( x+y \in U)\)
- \(\forall x \in U, y \in \Bbb{R} (y \cdot x \in U)\)
Beweisen Sie!=Verifica!
"garnak.olegovitc":
[quote="darakum"]
bando alle faccine, se stai pensando ti do un input, i tuoi assiomi da verificare sono:- \(0 \in U\)
- \( \forall x,y \in U( x+y \in U)\)
- \(\forall x \in U, y \in \Bbb{R} (y \cdot x \in U)\)
Beweisen Sie!=Verifica![/quote]
Purtroppo non so proprio da dove partire..
Ma avevo pensato di verificare le 3 proprietà di sotto spazio vettoriale in modo tale da vedre se U è un sottospazio vettoriale..
@darakum,
nel verificare se \( 0_{\Bbb{R}^3} \in U\), devi prendere \((0,0,0) \in \Bbb{R}^3 \) e vedere se \(\exists h \in \Bbb{R}((h,h+1,h)=(0,0,0) \in U)\)
"Purtroppo" il forum non è un risolutore di esercizi, devi provare almeno ad impostare qualche passaggio e scriverlo!!
nel verificare se \( 0_{\Bbb{R}^3} \in U\), devi prendere \((0,0,0) \in \Bbb{R}^3 \) e vedere se \(\exists h \in \Bbb{R}((h,h+1,h)=(0,0,0) \in U)\)
"Purtroppo" il forum non è un risolutore di esercizi, devi provare almeno ad impostare qualche passaggio e scriverlo!!
"garnak.olegovitc":
@darakum,
nel verificare se \( 0_{\Bbb{R}^3} \in U\), devi prendere \((0,0,0) \in \Bbb{R}^3 \) e vedere se \(\exists h \in \Bbb{R}((h,h+1,h)=(0,0,0) \in U)\)
"Purtroppo" il forum non è un risolutore di esercizi, devi provare almeno ad impostare qualche passaggio e scriverlo!!
Ok,però se lo avessi saputo impostare e risolvere non avrei cheisto aiuto qui...
Ciò significa che mio malgrado,non so nulla a riguardo...ne quanto meno come si possa impostare..
@darakum,
schon gut schon gut... devi verificare i tre "assiomi" per vedere se è sottospazio vettoriale, se almeno uno di questi non è verificato allora non è sottospazio vettoriale, penso che "non esiste un \(h \in \Bbb{R}((h,h+1,h)=(0,0,0) \in U)\)" ergo \(U \) non è sottospazio vettoriale. Come mai non esiste quel \(h\)? Se esistesse avresti che \(\left\{\begin{matrix}
h=0\\
h=-1
\end{matrix}\right. \) con \( \Bbb{R} \ni h\), ed è un assurdo!! In sostanza hai dimostrato anche che è falso il terzo "assioma"..
schon gut schon gut... devi verificare i tre "assiomi" per vedere se è sottospazio vettoriale, se almeno uno di questi non è verificato allora non è sottospazio vettoriale, penso che "non esiste un \(h \in \Bbb{R}((h,h+1,h)=(0,0,0) \in U)\)" ergo \(U \) non è sottospazio vettoriale. Come mai non esiste quel \(h\)? Se esistesse avresti che \(\left\{\begin{matrix}
h=0\\
h=-1
\end{matrix}\right. \) con \( \Bbb{R} \ni h\), ed è un assurdo!! In sostanza hai dimostrato anche che è falso il terzo "assioma"..
"garnak.olegovitc":
@darakum,
schon gut schon gut... devi verificare i tre "assiomi" per vedere se è sottospazio vettoriale, se almeno uno di questi non è verificato allora non è sottospazio vettoriale, penso che "non esiste un \(h \in \Bbb{R}((h,h+1,h)=(0,0,0) \in U)\)" ergo \(U \) non è sottospazio vettoriale. Come mai non esiste quel \(h\)? Se esistesse avresti che \(\left\{\begin{matrix}
h=0\\
h=-1
\end{matrix}\right. \) con \( \Bbb{R} \ni h\), ed è un assurdo!! In sostanza hai dimostrato anche che è falso il terzo "assioma"..
Ok,grazie,quindi devo semplicemente verificare la definizione..! Non ho però capito come impostarlo..In giro ho trovato solo esempi di sottospazii definiti mediante equazioni omegenee..In questo caso,come devo muovermi per verificare tutte e 3 le propietà?
@darakum,
naturalmente devi applicare la def., attento che il primo "assioma" è conseguenza del terzo ponendo nella def. \(y=0\), ergo quelli veri sono il secondo e il tezo, io ho trovato un esempio per il quale il terzo assioma non è verificato ma tu puoi procedere diversamente, piuttosto che trovare un esempio puoi provare direttamente e vedere cosa esce fuori (alle volte è più lungo...); devi scrivere qualcosa tu però, qui siamo agli antipasti dell'algebra lineare, nel tuo testo o altrove (come hai detto) hai già visto molti esercizi del tipo, e aldilà dell'impostazione dei dati il procedimento è il medesimo in tutti!!
naturalmente devi applicare la def., attento che il primo "assioma" è conseguenza del terzo ponendo nella def. \(y=0\), ergo quelli veri sono il secondo e il tezo, io ho trovato un esempio per il quale il terzo assioma non è verificato ma tu puoi procedere diversamente, piuttosto che trovare un esempio puoi provare direttamente e vedere cosa esce fuori (alle volte è più lungo...); devi scrivere qualcosa tu però, qui siamo agli antipasti dell'algebra lineare, nel tuo testo o altrove (come hai detto) hai già visto molti esercizi del tipo, e aldilà dell'impostazione dei dati il procedimento è il medesimo in tutti!!
Ok..Ci provo..
Volendo inanzi tutto verificare la condizione generale: affinchè S sia uno spazio vettoriale di U,deve contenere il vettore nullo 0.
..Quindi: 0(0;0;0) --> h,h+1,h=0 ---> 0+1+0=0 ----> 1=0 ; Condizione non verificata.
E quindi già da qui potrei dire che U non è un sottospazio di R^3.
Volendo continuare con la verifica di v1+v2 appartiene a S
Assegno dei vettori generici v1 e v2,li sommo e li vado a sostituire (?)(?)(?)
v1=(1;1;1;) v2(1;0;0;) ---> v1+v2=(2;1;1)
h,h+1,h=0 --> Sostituisco ---> 2+2+1=0 --> 5=0 ; Condizione non soddisfatta.
..Non penso di aver fatto bene,ho ancora un le idee confuse...
PS: Grazie per l'aiuto che mi stai dando
Volendo inanzi tutto verificare la condizione generale: affinchè S sia uno spazio vettoriale di U,deve contenere il vettore nullo 0.
..Quindi: 0(0;0;0) --> h,h+1,h=0 ---> 0+1+0=0 ----> 1=0 ; Condizione non verificata.
E quindi già da qui potrei dire che U non è un sottospazio di R^3.
Volendo continuare con la verifica di v1+v2 appartiene a S
Assegno dei vettori generici v1 e v2,li sommo e li vado a sostituire (?)(?)(?)
v1=(1;1;1;) v2(1;0;0;) ---> v1+v2=(2;1;1)
h,h+1,h=0 --> Sostituisco ---> 2+2+1=0 --> 5=0 ; Condizione non soddisfatta.
..Non penso di aver fatto bene,ho ancora un le idee confuse...
PS: Grazie per l'aiuto che mi stai dando
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