Stabilire un sistema di generatori, problema
Salve a tutti, sono nuovo nel forum e spero mi possiate aiutare con un problema..Ho un esercizio che mi dice:
In $RR^3$ per ciascuno dei seguenti sistemi di vettori:
$S_1$ = {(1,0,1),(0,-1,0),(0,1,1),(0,2,-2)}
$S_2$ = {(1,0,2),(0,1,-1),(0,1,-1)}
$S_3$ = {(0,1,1),(-1,1,1)} ...
Stabilire giustificando le risposte:
1-se è linearmente dipendente o indipendente;
2-se è un sistema di generatori di $RR^3$;
3-se è una base di $RR^3$;
4-se è possibile completarlo ad una base di $RR^3$ e fornirne una.
Partendo dal primo sistema $S_1$ posso affermare che è linearmente dipendente perchè la cardinalità di $|S_1|$ è maggiore della dimensione dello spazio vettoriale $RR^3$ giusto? 4>3 quindi $S_1$ è linearmente dipendente.
Passando al punto 2, mi chiede se è un sistema di generatori e qui mi sorgono dei problemi. Non ho chiaro il concetto di sistema di generatori, il mio prof ha spiegato in questo modo:
Quindi in poche parole per determinare se un sistema $S$ è un sistema di generatori devo prendere un generico vettore $w$ che deve essere uguale alla combinazione lineare di tutti i vettori del sistema?
Cioè in questo caso, chiamo i vettori $v$ di $S_1$ e ricavo $w$=$\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 + \delta v_4 $?
$w$=$\alpha (1,0,1) + \beta (0,-1,0) + \gamma (0,1,1) + \delta (0,2,-2)$
Quindi ottengo $(x,y,z)=(\alpha, -\beta+\gamma+2\delta, \alpha+\gamma-2delta)$, ora che dovrei fare con questo vettore? Per quanto ho capito dovrei risolvere il sistema associato, che è un sistema di 3 equazioni in 4 incognite.. Non so come procedere e se è giusto questo ragionamento, non riesco a capire come faccio a determinare se un sistema è un sistema di generatori.
Ho anche letto in giro che si può vedere il rango della matrice del sistema se è massimo o no, se è massimo cioè diverso da 0 il sistema è un sistema di generatori?
Insomma ho proprio una grande confusione con questi sistemi di generatori, qualcuno può spiegarmi il procedimento per determinarli? Grazie
In $RR^3$ per ciascuno dei seguenti sistemi di vettori:
$S_1$ = {(1,0,1),(0,-1,0),(0,1,1),(0,2,-2)}
$S_2$ = {(1,0,2),(0,1,-1),(0,1,-1)}
$S_3$ = {(0,1,1),(-1,1,1)} ...
Stabilire giustificando le risposte:
1-se è linearmente dipendente o indipendente;
2-se è un sistema di generatori di $RR^3$;
3-se è una base di $RR^3$;
4-se è possibile completarlo ad una base di $RR^3$ e fornirne una.
Partendo dal primo sistema $S_1$ posso affermare che è linearmente dipendente perchè la cardinalità di $|S_1|$ è maggiore della dimensione dello spazio vettoriale $RR^3$ giusto? 4>3 quindi $S_1$ è linearmente dipendente.
Passando al punto 2, mi chiede se è un sistema di generatori e qui mi sorgono dei problemi. Non ho chiaro il concetto di sistema di generatori, il mio prof ha spiegato in questo modo:
Un sistema di vettori $S$ di $RR^n$ si dice sistema di generatori di $RR^n$ se $L(X)$=$RR^n$
Quindi in poche parole per determinare se un sistema $S$ è un sistema di generatori devo prendere un generico vettore $w$ che deve essere uguale alla combinazione lineare di tutti i vettori del sistema?
Cioè in questo caso, chiamo i vettori $v$ di $S_1$ e ricavo $w$=$\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 + \delta v_4 $?
$w$=$\alpha (1,0,1) + \beta (0,-1,0) + \gamma (0,1,1) + \delta (0,2,-2)$
Quindi ottengo $(x,y,z)=(\alpha, -\beta+\gamma+2\delta, \alpha+\gamma-2delta)$, ora che dovrei fare con questo vettore? Per quanto ho capito dovrei risolvere il sistema associato, che è un sistema di 3 equazioni in 4 incognite.. Non so come procedere e se è giusto questo ragionamento, non riesco a capire come faccio a determinare se un sistema è un sistema di generatori.
Ho anche letto in giro che si può vedere il rango della matrice del sistema se è massimo o no, se è massimo cioè diverso da 0 il sistema è un sistema di generatori?
Insomma ho proprio una grande confusione con questi sistemi di generatori, qualcuno può spiegarmi il procedimento per determinarli? Grazie
Risposte
è sufficiente utillizare le definizioni, senza imparare procedimenti troppo meccanici 
1. E' sufficiente controllare che il rango della matrice associata a tale sistema sia massimo, se lo è allora è un sistema di generatori.
2.Tale sistema per essere una base di $RR^3$ deve essere formato da $3$ vettori linearmente indipendenti.
L'indipendenza lineare si traduce nel provare che l'unico modo per ottenere il vettore nullo sia che tutti i coefficienti siano nulli.
Cioè risolvere il sistema $A \cdot vec(x)=vec(0)$. Se trovi che la soluzione è quella banale,ossia quella composta da tutti zeri, allora il tuo insieme è linearmente indipendente.
Altrimenti, avrai che un vettore è combinazione lineare degli altri.
3. Definizione di base di uno spazio vettoriale finitamente generato: insieme di vettori linearmente indipendenti.
Ricorda:
una base è un insieme minimale di generatori, cioè è il più piccolo insieme che contiene tutti i vettori che generano lo spazio
una base è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti.
4. Se hai fatto il lemma di Steinitz (o non so come lo chiami),dovresti sapere come agire. In soldoni, ti basta aggiungere un vettore tale che renda l'insieme linearmente indipendenti
Proviamo con $S_1$:
1.Il sistema $A*vecx=vec0$ non ammette la soluzione banale come vedi. Infatti abbiamo infinite soluzioni dipendenti da un parametro, pertanto l'insieme è linearmente indipendenti
2. Il rango è massimo, ergo si tratta di un sistema di generatori.
3. $S_1$ Non è una base di $RR^3$, ma ${[1,0,1],[0,-1,0],[0,1,1]}$ sì. E' immediato verificarlo.
1. E' sufficiente controllare che il rango della matrice associata a tale sistema sia massimo, se lo è allora è un sistema di generatori.
2.Tale sistema per essere una base di $RR^3$ deve essere formato da $3$ vettori linearmente indipendenti.
L'indipendenza lineare si traduce nel provare che l'unico modo per ottenere il vettore nullo sia che tutti i coefficienti siano nulli.
Cioè risolvere il sistema $A \cdot vec(x)=vec(0)$. Se trovi che la soluzione è quella banale,ossia quella composta da tutti zeri, allora il tuo insieme è linearmente indipendente.
Altrimenti, avrai che un vettore è combinazione lineare degli altri.
3. Definizione di base di uno spazio vettoriale finitamente generato: insieme di vettori linearmente indipendenti.
Ricorda:
una base è un insieme minimale di generatori, cioè è il più piccolo insieme che contiene tutti i vettori che generano lo spazio
una base è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti.
4. Se hai fatto il lemma di Steinitz (o non so come lo chiami),dovresti sapere come agire. In soldoni, ti basta aggiungere un vettore tale che renda l'insieme linearmente indipendenti
Proviamo con $S_1$:
1.Il sistema $A*vecx=vec0$ non ammette la soluzione banale come vedi. Infatti abbiamo infinite soluzioni dipendenti da un parametro, pertanto l'insieme è linearmente indipendenti
2. Il rango è massimo, ergo si tratta di un sistema di generatori.
3. $S_1$ Non è una base di $RR^3$, ma ${[1,0,1],[0,-1,0],[0,1,1]}$ sì. E' immediato verificarlo.
Grazie mille per la spiegazione! Quindi per vedere se il sistema è un sistema di generatori devo vedere se il rango della matrice associata è il massimo? E' l'unico modo o si può fare anche diversamente?
Quindi se ho capito bene prendendo un altro sistema:
$S={(2,-2,1),(4,4,1),(0,0,1),(1,1,-1)} $
-E' linearmente dipendente
-Non è un sistema di generatori perchè il rango della matrice associata non è massimo
-Non è una base, ma $S' ={(2,-2,1),(4,4,1),(0,0,1)}$ lo è
Prendendo un altro sistema $V={(-1,0,-2,1),(0,1,-1,0),(1,0,-3,0),(0,0,1,1)}$
-E' linearmente indipendente dato che la combinazione lineare mi da scalari tutti nulli
-Non è un sistema di generatori perchè il rango della matrice non è massimo
-Non è una base dato che non è un sistema di generatori
Spero siano corretti, se è così penso di aver capito.. Grazie dell'aiuto
Quindi se ho capito bene prendendo un altro sistema:
$S={(2,-2,1),(4,4,1),(0,0,1),(1,1,-1)} $
-E' linearmente dipendente
-Non è un sistema di generatori perchè il rango della matrice associata non è massimo
-Non è una base, ma $S' ={(2,-2,1),(4,4,1),(0,0,1)}$ lo è
Prendendo un altro sistema $V={(-1,0,-2,1),(0,1,-1,0),(1,0,-3,0),(0,0,1,1)}$
-E' linearmente indipendente dato che la combinazione lineare mi da scalari tutti nulli
-Non è un sistema di generatori perchè il rango della matrice non è massimo
-Non è una base dato che non è un sistema di generatori
Spero siano corretti, se è così penso di aver capito.. Grazie dell'aiuto
Feddy quello di cui parli non è forse il teorema del completamento a base?
Quel lemma dovrebbe essere quello dello scambio
Comunque per la caratterizzazione delle basi, una base è sia un sistema minimale di generatori che un sistema massimale di vettori linearmente indipendenti(oltre che determinare univocamente la scrittura di un vettore)
Quindi se $|B_V|=dim_(K)V=n$ una base deve avere esattamente $n$ vettori che siano contemporaneamente indipendenti e generatori. Considera che il Teorema è composto da tre bicondizionali, in particolare:
$B_V$ è una base se e solo se è un sistema minimale di generatori
$B_V$ è una base se e solo se è un sistema massimale di vettori linearmente indipendenti
[size=85]Dunque: (sistema massimale $=> B_V$ base di $V$)$wedge$ ($B_V$ base di $V=>$ sistema minimale)
da cui: sistema massimale $=>$ sistema minimale[/size]
Ora un sistema massimale è formato esattamente da $n$ vettori indipendenti dunque se trovi $n$ vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale, esso sarà una base.
Detto in 'brute-force' i vettori di una base devono stare tutti su direzioni diverse.
Dunque in fin dei conti ti basta trovare $n$ vettori indipendenti.
Come suggerisce Feddy la cosa migliore è sfruttare il rango di una matrice perché te ne esci pulito con il determinante che si sviluppa in poco tempo con laplace e le operazioni elementari.
Sennò ti fai la combinazione lineare
Quel lemma dovrebbe essere quello dello scambio
Comunque per la caratterizzazione delle basi, una base è sia un sistema minimale di generatori che un sistema massimale di vettori linearmente indipendenti(oltre che determinare univocamente la scrittura di un vettore)
Quindi se $|B_V|=dim_(K)V=n$ una base deve avere esattamente $n$ vettori che siano contemporaneamente indipendenti e generatori. Considera che il Teorema è composto da tre bicondizionali, in particolare:
$B_V$ è una base se e solo se è un sistema minimale di generatori
$B_V$ è una base se e solo se è un sistema massimale di vettori linearmente indipendenti
[size=85]Dunque: (sistema massimale $=> B_V$ base di $V$)$wedge$ ($B_V$ base di $V=>$ sistema minimale)
da cui: sistema massimale $=>$ sistema minimale[/size]
Ora un sistema massimale è formato esattamente da $n$ vettori indipendenti dunque se trovi $n$ vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale, esso sarà una base.
Detto in 'brute-force' i vettori di una base devono stare tutti su direzioni diverse.
Dunque in fin dei conti ti basta trovare $n$ vettori indipendenti.
Come suggerisce Feddy la cosa migliore è sfruttare il rango di una matrice perché te ne esci pulito con il determinante che si sviluppa in poco tempo con laplace e le operazioni elementari.
Sennò ti fai la combinazione lineare
"anto_zoolander":
Feddy quello di cui parli non è forse il teorema del completamento a base?
Quel lemma dovrebbe essere quello dello scambio
Il "lemma dello scambio" o thm. di Steinitz, sono la stessa cosa.
Il completamento a base è un corollario che segue dal lemma di Steinitz.
Capito grazie, in parole povere una base è un sistema di generatori di vettori linearmente indipendenti.. Un sistema di generatori però può essere anche linearmente dipendente giusto?
Mi potete dire però se il procedimento che ho seguito è corretto? Grazie mille.
Mi potete dire però se il procedimento che ho seguito è corretto? Grazie mille.
"Froz3n":
Grazie mille per la spiegazione! Quindi per vedere se il sistema è un sistema di generatori devo vedere se il rango della matrice associata è il massimo? E' l'unico modo o si può fare anche diversamente?
Quindi se ho capito bene prendendo un altro sistema:
$S={(2,-2,1),(4,4,1),(0,0,1),(1,1,-1)} $
-E' linearmente dipendente
-Non è un sistema di generatori perchè il rango della matrice associata non è massimo
-Non è una base, ma $S' ={(2,-2,1),(4,4,1),(0,0,1)}$ lo è
Prendendo un altro sistema $V={(-1,0,-2,1),(0,1,-1,0),(1,0,-3,0),(0,0,1,1)}$
-E' linearmente indipendente dato che la combinazione lineare mi da scalari tutti nulli
-Non è un sistema di generatori perchè il rango della matrice non è massimo
-Non è una base dato che non è un sistema di generatori
Spero siano corretti, se è così penso di aver capito.. Grazie dell'aiuto
$S$
-sì, è linearmente dipendente.
-ovviamente non può generare $RR^4$ (manca la quarta componente), però il rank della matrice associata è $3$, ed è quello che ci basta per concludere che è un sistema di generatori.
-sì
-sì, è linearmente dipendente.
-ovviamente non può generare $RR^4$ (manca la quarta componente), però il rank della matrice associata è $3$, ed è quello che ci basta per concludere che è un sistema di generatori.
-sì
"feddy":
$S$
-sì, è linearmente dipendente.
-ovviamente non può generare $RR^4$ (manca la quarta componente), però il rank della matrice associata è $3$, ed è quello che ci basta per concludere che è un sistema di generatori.
-sì
Aspetta.. a quale sistema ti riferisci? $S$ è incluso in $R^3$ non in $R^4$
Inoltre mi sta salendo di nuovo una confusione.. Se il sistema $S={(2,−2,1),(4,4,1),(0,0,1),(1,1,−1)}$ ha rango 3 cioè massimo, non dovrebbe essere linearmente indipendente?
Io so che se $|S| > R^n$ il sistema è linearmente dipendente e in questo caso abbiamo 4>3, quindi è un controsenso dire che $S$ è linearmente dipendente quando ho il rango massimo che mi dice invece che $S$ è indipendente ..? Aiuto
sì, mi sto riferendo ad $S$.
Ho scritto che non sta in $RR^4$ perché il rango massimo della matrice avrebbe dovuto essere $4$, ma invece come hai notato è 3. I vettori che la compongono stanno in $RR^3$, pertanto puoi concludere che è un sistema di generatori.
Ho scritto che non sta in $RR^4$ perché il rango massimo della matrice avrebbe dovuto essere $4$, ma invece come hai notato è 3. I vettori che la compongono stanno in $RR^3$, pertanto puoi concludere che è un sistema di generatori.
Mh va bene penso di aver capito, grazie per l'aiuto.
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