Stabilire se un sottoinsieme è o meno un sottospazio
Salve,
nel prepararmi l'esame di Algebra e Geometria mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Si stabilisca se nello spazio Vettoriale \( M_2(R) \) delle matrici 2 x 2 su R il sottoinsieme
$ {A in M_2(R) : A A^T=( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) } uu {( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) } $
è o meno un sottospazio.
Comincio con il dire che conosco la definizione di sottospazio.
Avevo pensato innanzitutto di trovare per quali valori dei propri elementi le due matrici (A e la sua trasposta) una volta moltiplicate avrebbero restituito la matrice $ ( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $ .
La matrice $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ credo serva solo per il prodotto esterno (per la definizione di sottospazio) usando come valore proprio lo 0.
Il procedimento da me immaginato però non mi porta a nessuna soluzione.
Dove ho sbagliato?
nel prepararmi l'esame di Algebra e Geometria mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Si stabilisca se nello spazio Vettoriale \( M_2(R) \) delle matrici 2 x 2 su R il sottoinsieme
$ {A in M_2(R) : A A^T=( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) } uu {( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) } $
è o meno un sottospazio.
Comincio con il dire che conosco la definizione di sottospazio.
Avevo pensato innanzitutto di trovare per quali valori dei propri elementi le due matrici (A e la sua trasposta) una volta moltiplicate avrebbero restituito la matrice $ ( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) $ .
La matrice $ ( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ credo serva solo per il prodotto esterno (per la definizione di sottospazio) usando come valore proprio lo 0.
Il procedimento da me immaginato però non mi porta a nessuna soluzione.
Dove ho sbagliato?
Risposte
Spiego meglio il procedimento che ho seguito:
Essendo A la matrice:
$ A=( ( a , b ),( c , d ) ) $
La sua trasposta sarà:
$ A^T=( ( a , c ),( b , d ) ) $
Per il prodotto riga per colonna otteniamo:
$ A A^T=( ( a*a+b*b , a*c+b*d ),( c*a+d*b , c*c+d*d ) ) $
Ma ciò è impossibile perchè gli elementi $ (A A^T)_(1,2) $ e $ (A A^T)_(2,1) $ sono uguali, mentre sono diversi nella definizione del sottoinsieme datoci nella traccia (rispettivamente sono 0 e 1).
Quindi l'unica matrice che fa parte del sottoinsieme è $( ( 0 , 0),( 0 , 0 ) )$.
Il sottoinsieme è quindi un sottospazio perchè non è vuoto, è stabile rispetto alla somma e rispetto al prodotto esterno.
Ho così svolto correttamente l'esercizio o mi sono solo fatto viaggi mentali? :\
Essendo A la matrice:
$ A=( ( a , b ),( c , d ) ) $
La sua trasposta sarà:
$ A^T=( ( a , c ),( b , d ) ) $
Per il prodotto riga per colonna otteniamo:
$ A A^T=( ( a*a+b*b , a*c+b*d ),( c*a+d*b , c*c+d*d ) ) $
Ma ciò è impossibile perchè gli elementi $ (A A^T)_(1,2) $ e $ (A A^T)_(2,1) $ sono uguali, mentre sono diversi nella definizione del sottoinsieme datoci nella traccia (rispettivamente sono 0 e 1).
Quindi l'unica matrice che fa parte del sottoinsieme è $( ( 0 , 0),( 0 , 0 ) )$.
Il sottoinsieme è quindi un sottospazio perchè non è vuoto, è stabile rispetto alla somma e rispetto al prodotto esterno.
Ho così svolto correttamente l'esercizio o mi sono solo fatto viaggi mentali? :\
uhm mi sembra giusto. oltretutto dalla definizione, in più all'avere elementi sulla diagonale diversi come hai notato tu, da anche $a^2 +b^2 = -1$ che è impossibile.
sei sicuro che non sia la somma di matrice e sua trasposta?
se così non fosse comunque mi sembra corretto il tuo ragionamento.
sei sicuro che non sia la somma di matrice e sua trasposta?
se così non fosse comunque mi sembra corretto il tuo ragionamento.
"cooper":
uhm mi sembra giusto. oltretutto dalla definizione, in più all'avere elementi sulla diagonale diversi come hai notato tu, da anche $a^2 +b^2 = -1$ che è impossibile.
sei sicuro che non sia la somma di matrice e sua trasposta?
se così non fosse comunque mi sembra corretto il tuo ragionamento.
Sicurissimo del fatto che sia prodotto e non somma.
In ogni caso grazie per avermi fatto notare un'ovvietà che mi era sfuggita
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